0^0?

Här är ett till exempel på ett gränsvärde som går mot 0, men som är på "formen" 0^0:
lim(x->0) (e^-1/x^2)^x
dvs f(x)^g(x), där f(x)=e^-1/x^2, g(x)=x, då går både f(x)->0, g(x)->0 då x->0, men f(x)^g(x)->0 då x->0.

Nej, däremot tog jag 0! som ett exempel på hur man definierar någonting utifrån hur det används och inte hur det har bevisats.

Jag har svårt att se skillnaden på uttrycken 0^0 och 0/0. Som påpekats så används 0^0=1 av många program, MATLAB som exempel. Dock är 0/0=NaN.

Visst att man kan sätta upp scenarier för det ena och andra, e.g.: 0a=0 => a=0/0, där a kan (innan divisionen skedde) vara vadsomhelst. Men, är inte potensrepresentation bara ett uttryck för, och baserat på, division/multiplikation av tal/variabeler?

Jag menar, potenser x^y är väl inte definierade för sig själva utan följer bara (som en förenkling) av att man vill kunna skriva, e.g., x^3 istället för x*x*x?

Tillägg: Iofs. om vi betraktar x^y=1*x*...*x och sedan tar x^0=1*{0} då bör ju även 0^0=1*{0}. Det blev lite väl petigt för min smak!

0^0=0

a^0=1 om a är skiljt från 0

har aldrig hört talas om att 0^0=1

Så du skulle säga att 0/0=0 med? 0^0 måste ju vara odefinerat annars så känns det ju jävligt skumt.

Kan man göra så här?

x^a-b = x^a / x^b

x^a / x^a = x^a-a = x^0 vilket också blir noll eftersom att om täljaren är lika som nämnaren blir kvoten ett.

Men kör vi på noll:
0^a / 0^a = 0^a-a
0^a = 0, och man får inte dela på noll.

Ska man säga att det är noll, ett eller odefinerat?

Skriv x^(a-b). Annars tolkas det som (x^a) - b.


0^0 är odefinierat, generellt sett.

Men ofta sätts 0^0 till 1. Annars skulle man inte kunna skriva t.ex. e^x = ∑ x^n / n!, där n går från 0 till ∞, eftersom första termen x^0 / 0! inte skulle vara definierad för x = 0.

Uttrycket 0^0 har i sig själv ingen betydelse inom matematiken. Det är egentligen inte konstigare än att uttrycket 0/0 saknar betydelse eller att det inte finns någon "noll:te-rot". Betraktar man däremot uttrycket i något sammanhang blir det en annan sak.

Ex. 1.

Låt f(x) = x^0 , x >0. Vi vill nu utöka definitionsmängden av f(x) till att också omfatta x=0. Vi betraktar därför gränsvärdet av f(x) då x->0 och finner att detta är 1 (räkna själv).

I ovanstående exempel är det således vettigt att definiera 0^0=1.

Ex. 2.

Låt f(x) = x^(1/ln(x)), x > 0, Vi vill återigen utöka definitionsmängden av f(x) till att också omfatta x=0. Vi betraktar därför gränsvärdet av f(x) då x->0 och finner att detta är e (räkna själv).

I ovanstående exempel är det således vettigt att definiera 0^0=e.

Så vad 0^0 är beror helt på sammanhanget - inte svårare än så.

När tillämpar man x^0 i praktiken?

(a+b)^n=∑_k=0,n(a^k*b^(n-k)*(n k)) där (n k) är n över k.

För att denna formel skall stämma när a eller b är 0 så måste 0^0 vara 1.

X^0=1 (då X är skiljt från 0) Det har i alla fall jag fått lära mig.

Om x är ett tal skiljt både från 0 och oändligheten gäller:
x / 0 = inf
x/ inf = 0

Multiplikation med nämnaren i valfri ekvation ger:
x = 0 * inf
Dvs. 0 * inf kan ge vilket tal som helst inom definitionsmängden , dock är talet här inte entydigt bestämt.

Vidare gäller att:
x/ inf = 0
x * (1 / inf) = 0
Om 1 / inf substitueras mot 0:
x * 0 = 0
x = 0 / 0
Även 0 / 0 kan alltså ge vilket tal som helst inom definitionsmängden.

Om även detta gäller:
Blir 0 * 0 = 0^0.

Ett exempel från matematiken då 0^0 måste vara 1:
f(t) = t^2
f'(t) = 2t^(2-1)
f''(t) = (2)(2-1)t^(2-2) = 2 * t^0
Om man tillämpar deriveringsreglerna till punkt och pricka.

Om vi sätter t = 0:
f''(0) = 2 * 0^0
Om vi sätter t = 0 efter vanlig derivering:
f''(t) = 2

f(t) = t^2 har andraderivatan 2 i alla punkter. Den är inte odefinierad för x = 0. Den beror heller inte på någon variabel. För att detta ska stämma kan 0^0 inte vara något annat än 1. ...I detta exempel i alla fall. =)