Den kuriöst sammanslagna tråden om gåtor, tankenötter och andra hjärnbryderier

Lösningen går ut på att dvärgarna i förväg ska komma överens om hur de ska svara givet att de ser en viss sekvens framför sig. Alltså, de kommer överens om att om de ser sekvens X framför sig utvidgar de dem på ett visst bestämt sätt bakåt enligt en bestämd sekvens X'. Så de kommer överens om en viss "representation" av serien de faktiskt ser framför sig och svarar där efter. Sen finns det ett resultat från diskret matematik som säger att givet ett sådant val kommer sekvensen de valt och den faktiska sekvensen bara skilja sig på en ändlig mängd element, så därför kommer bara en ändlig mängd dvärgar dö. Säger dock inget om hur många dvärgar som dör, men en ändlig mängd.

Kommer tyvärr inte ihåg vad teoremet om sekvenserna heter. Jag (fysik-student) och en vän som läser matematik kom på den här lösningen efter en längre intensiv diskussion, och gissade att det fanns ett sådant resultat och han som gav oss gåtan konfirmerade att så var fallet, så jag antar att det stämmer.

Definiera en ekvivalensrelation på alla sekvenser N -> {vit, svart}, genom att två sekvenser a och b är ekvivalenta omm a och b bara skiljer sig åt på ändligt många positioner. Dvärgarna väljer på förhand ut ett element för varje ekvivalensklass (detta kräver urvalsaxiomet för att ett sådant val ska vara möjligt).

Poängen är nu att varje dvärg, eftersom han bara har ändligt många dvärgar bakom sig, kan bestämma exakt vilken ekvivalensklass hattsekvensen befinner sig i, trots att han inte vet färgerna på hattarna bakom sig. Han tar då den överenskomna representanten för den ekvivalensklassen, och gissar som om denna representantsekvens var den verkliga hattsekvensen.

Alla dvärgar kommer då gissa enligt exakt samma representantsekvens, och eftersom den representanten bara skiljer sig från den verkliga sekvensen på ändligt många platser så kommer bara ändligt många dö.

Detta kräver dock att dvärgarna vet sin position i ledet. Annars vet jag inte hur det skulle fungera.

Poängen är precis att alla dvärgar gissar enligt samma sekvens, som bara skiljer sig från den äkta sekvensen på ett ändlig antal platser. När jag läser om mitt tidigare inlägg ser jag att jag var väldigt otydlig, kanske tom aningen felaktig.

Sen när du skriver om ekvivalensklasser definierade på det sättet känns det uppenbart att det går, men vi var inte lika smarta och antog istället att det fanns något resultat som sa att det går att välja en representations-sekvens som bara skiljer sig på ändligt antal platser. Så tack för det, det gör det klarare varför det funkar.