maximal area triangel baserat på sidlängder

en triangel har sidorna x,y,z
sidornas längd är tillsammans 124
x + y + z = 124
vad är den maximala arean?
baserat på en uppsatt funktion och derivata, dvs inga logiska "gissningar" utan bevis.
kommer inte fram till en lösning på denna, slutar med att jag kommer fram till att x=x eller 1=1.
vore tacksam om någon kunde ta sig en titt på denna

x = y = z = 124/3 => b = x, h^2+(x/2)^2 = x^2 => h^2 = x^2 - (x^2)/4 = (3/4)x^2 => h = sqrt(2)*x/2=x/sqrt(2) => A = b*h/2 = x*x/(2sqrt(2)) = 124^2/(18*sqrt(2)) =~ 604 ae.

Kan ha gjort räknefel dock. Största arean blir iallafall när sidorna är lika långa.

självklart blir den störst då sidorna är lika långa, men behöver ett bevis på detta. det jag menade med inga logiska "gissningar", men tacksam för att du försökte hjälpa.

Heron & Lagrange amirite

Vore inte ett enkelt sätt att använda motsatsbevis (eller vad de kallas)
Anta att den inte har maximal yta då sidorna är lika långa, och visa sedan att en ökning alltid är möjlig i triangel med olika sidor => motsats => Lika sidor ger maximal area.

intressant väg, läst lite om motsägelsebevis förut. tydligen används för en rad stora bevis genom mattematiken. förstår tyvär inte hur du menar jag ska utnyttja detta på triangeln, kan du förklara lite utförligare?

edit: för den intresserade finns info om motsägelsebevis här
http://sv.wikipedia.org/wiki/Mots%C3%A4gelsebevis

Ett motsatsbevis fungerar ju ungefär såhär:
anta icke-p
...
...
=>inkonsistens
=> p

Tillämpat i detta fall blir motsvarande form:
anta att någon triangel med andra längdförhållande än 1:1:1 kan ha större area än en 1:1:1-triangel
visa att varje triangel som har annat längdförhållande än 1:1:1 blir större om man "jämnar ut den" (häri ligger väl den matematiskt tekniska biten)
=>inkonsistens
=>det finns ingen triangel som har större area än den med längdförhållande 1:1:1

Heron's formel och AM-GM-olikheten löser problemet, tex:

A =
= sqrt(p(p-x)(p-y)(p-z))
= sqrt(p) sqrt((p-x)(p-y)(p-z))
<= sqrt(p)((p-x+p-y+p-z)/3)^(3/2)
= sqrt(p)(p/3)^(3/2)
= p^2/(3*sqrt(3))
= (2p/3)^2 *sqrt(3)/4
= arean man får om man sätter x = y = z = 2p/3,

(där A är arean på triangeln, och p = (x + y + z)/2)

och alltså är arean av den liksidiga triangeln störst.