Kurvintegral!

Hej!

Tar tacksamt emot hjälp här.


Jag vill beräkna kurvintegralen

(2 y)/(x^2 + y^2 - 4 x + 4) dx - (x^2 - 2 x + y^2)/(x^2 + y^2 - 4 x + 4) dy

Kring ellipsen (x^2)/9+(y^2)/4=1 genomlupen en gång i posetivt led.

Hur göra, är det tillåtet att använda Greens Formel?

tack på förhand!

Utan att lägga ned någon större tankekraft bakom mitt svar så borde Greens formel fungera.
Annars kan man väl alltid parametrisera till t t.ex. och köra den vägen.

/Bubben

Svaret är: både ja och nej. Ska förklara i detalj.

(måste dela upp mitt svar i flera inlägg pga längden)


Greens formel:
∫Pdx+Qdy = ∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy
∂M M

Den kan endast användas då
1) integranden i kurvintegralen är kontinuerligt deriverbar längs hela kurvan (ellipsen = randkurvan ∂M till integrationsområdet M) , samt
2) integranden (∂Q/∂x-∂P/∂y) i dubbelintegralen är kontinuerlig och begränsad (Riemannintegrerbar) i hela integrationsområdet M!

I detta fall är integrationsområdet M det område som ellipsen x²/3² +y²/2² = 1 innesluter.

För att kunna använda Greens formel, så får inte någon singularitet ligga i det inre av ellipsen.
Vi måste först undersöka om så är fallet.

Kurvintegralen. Här är:
P(x,y) = 2y/(x² + y² -4x + 4) = 2y/((x-2)² + y²)
Q(x,y) = -(x² - 2x + y²)/(x² + y² -4x + 4) = -(x² - 2x + y²)/((x-2)² + y²)

P och Q har enkelpoler (=singularitet av typen 1/t då t=0) då nämnaren = 0, dvs då x² + y² -4x + 4 = 0. Visserligen kan den singulära punkten bestämmas systematisk med kvadratkomplettering osv, men här funkar en enkel genväg.

Skriv om nämnaren som: x² -4x + 4 = (x-2)² = -y² => y² = -(x-2)².
Enda reella lösning: x=2 , y=0.

(Om vi däremot skulle integrera längs en kurva i det komplexa talplanet, vore det en annan femma. Då måste man hitta alla lösningar till y² = -(x-2)². Men det är en helt annan historia!)

I punkten (2,0) har funktionerna P och Q i kurvintegralen en singularitet. Denna ligger innanför ellipsen (skissa den), vilket innebär att vi även måste undersöka derivatorna ∂Q/∂x och ∂P/∂y.

Använd deriveringsregeln (f/g)´= (f´g-fg´)/g2

∂Q/∂x = ∂/∂x[-(x²-2x+y²)/(x²+y²-4x+4)] =
= [-(2x-2)(x²+y²-4x+4)-(-(x²-2x+y²))(2x-4)]/(x²+y²-4x+4)²

∂P/∂y =∂/∂y[2y/(x²+y²-4x+4)] = [2(x²+y²-4x+4)-2y(2y)]/(x²+y²-4x+4)²

Alltså: derivatorna har riktigt räliga singulariteter i M!
Vi kan alltså INTE använda Greens formel direkt på området M!

Däremot kan vi använda Greens formel utanför M, och det ska utnyttjas. Att beräkna kurvintegralen direkt över en så läbbig randkurva som ∂M låter sig inte göras, så därför vill vi ändra till ett lättare område.

Först: dra en ny randkurva som benämns γ. Det viktiga är att den enda singulariteten (x,y)=(2,0) som ligger i M också hamnar innanför den nya kurvan γ. Så vi drar γ utanför ∂M. Vidare ska γ vara sådan att beräkningarna blir så enkla som möjligt.
Vi väljer därför γ som en cirkel med centrum i singulariteten och så stor radie att den hamnar helt utanför ellipsen. Det kommer att visa sig att radien r inte blir relevant, men välj r = ett stort tal R.

Knepet ligger i att i området mellan γ och ∂M kan Greens formel användas! Kalla detta område D. I D finns ingen singularitet, integranderna är kontinuerligt deriverbara resp integrerbara, varför Greens formel kan användas på D. Nu hoppas man sannerligen att integranden ∂Q/∂x -∂P/∂y = 0, ty annars blir det asjävligt!

Så börja med att beräkna integranden. Usch!

∂Q/∂x = [-(2x-2)(x²+y²-4x+4)-(-(x²-2x+y²))(2x-4)]/(x²+y²-4x+4)²
∂P/∂y = [2(x²+y²-4x+4)-2y(2y)]/(x²+y²-4x+4)²
=>
∂Q/∂x -∂P/∂y = [[-(2x-2)(x²+y²-4x+4)-(-(x²-2x+y²))(2x-4)]-[2(x²+y²-4x+4)-2y(2y)]]/(x²+y²-4x+4)²

Vi undersöker först bara täljaren. Det som ändras till raden nedanför fetmarkeras.
(2-2x) (x²+y²-4x+4) +(x²-2x+y²)(2x-4)-2 (x²+y²-4x+4) +4y² =
= -2x((x-2)² + y²)+ (x²-2x+y²) (2x-4) +4y² =
= -2x((x-2)² + y²)+ (x²-4x+2x+4-4+y²) (2x-4) +4y² =
= -2x((x-2)² + y²)+ ((x-2)²+2x-4+y²)(2x-4) +4y² =
= -2x((x-2)² + y²)+ ((x-2)² + y²)(2x-4) +4(x-2)² +4y² =
= -2x((x-2)² + y²)+((x-2)² + y²)(2x -4) +4(x-2)² +4y² = (*)
= -4((x-2)² + y²) + 4(x-2)² +4y² =
= -4((x-2)² + y²) +4((x-2)² +y²) = 0

I ledet (*) har använts:
-2x((x-2)² + y²)+2((x-2)² + y²)(x-2)= (-2x+2(x-2))((x-2)² + y²) = (-4)((x-2)² + y²)

PUUH!
Om någon hugad person vill, så går det bra att kontrollräkna eländet!

Nollan gör tillvaron lättare. Sätt in detta resultat i dubbelintegralen över området D (=området mellan γ och ∂M):

∫∫(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy = 0.
D

Nu kan Greens formel användas i D (=området mellan γ och ∂M), däremot inte i det inre av M!
Räkningen utförs längre ner.

Next: Bestäm γ.
Den givna ellipsen har halvaxlar utefter x- och y-axlarna. Genom att sätta in lite enkla värden ser vi att ellipsen ”ligger” ner centrerad längs x-axeln. Ellipsens ”centrum” (mittpunkt) ligger i origo.
Ellipsens längsta axel utgörs av x-axeln, den kortaste av y-axeln.

Rita! Jag gör det inte här.

Singulariteten ligger i (2,0).
Den punkt på ellipsens som ligger längst ifrån (2,0) är dess ”vänstraste” punkt (kallas P). Ritar man figur, ses att P är (x,y) = (-3,0). Avståndet från P till (2,0) är 5. Således måste cirkeln γ:s radie r vara större än 5. Välj som radie något tal R>5.

Då blir ekvationen för γ: (x-2)² + y² = r² , där r = R > 5
Nu ska γ parametriseras:
x = r cos t + 2
y = r sin t , där 0≤t≤2π

Vinkeln t relativt (2,0) orienteras pss som när man parametriserar en cirkel med centrum i origo.

Först visas att integrering längs γ ger samma resultat som längs ellipsen ∂M.
Börja på γ, med θ = 0. Denna punkt bör om jag räknat rätt vara (x,y) = (r+2,0). Positiv omloppsriktning längs γ är ”med området till vänster”  γ genomlöps moturs.
Klipp sönder γ i startpunkten, lägg till en rät linje L1 vinkelrät från γ till ∂M, klipp upp ∂M där, lägg till en rät linje L2 vinkelrät från ∂M tillbaka till γ, sammanfoga ändpunkterna så att kurvan blir sluten.
Dessutom är de räta linjerna L1 och L2 identiska, men med motsatt omloppsriktning, dvs L2 = -L1.

Rita figur! Området D mellan ellipsen och γ blir format som ett ”nyckelhål”. D:s randkurva utgörs då av kurvan ovan, dvs: ∂D = γ(positiv omloppsriktning) + L1 + ∂M(negativ omloppsriktning) + L2.

Om man med tecknet tar hänsyn till resp kurvstyckes omloppsriktning, så fås:
∂D = γ + L1 + (-∂M) + L2 = γ + L1 - ∂M – L1

Nu använder vi Greens formel. Här måste man hålla tungan rätt i mun, då ∂D inte är en enda kurva, utan sammafogad av 4 kurvor. Då blir kurvintegralerna:


Högerledet är enligt tidigare = 0 =>
∫Pdx+Qdy = 0
∂D

Sätt in detta i (*):
Det var detta resultat vi önskade!

Det återstår att beräkna den lättare integralen i vänsterledet.
Använd definitionen av kurvintegral och parametrisera direkt:

Parametrisering av γ:
x = r cos t + 2
y = r sin t 0≤t≤2π
=>
x´(t) = -rsint
y´(t) = rcost

P och Q är:
P(x,y) = 2y/((x-2)²+y²)
Q(x,y) = -(x²-2x+y²)/((x-2)²+y²)= -((x-2)²+2(x-2)+y²)/((x-2)²+y²)

=>

(x(t)-2)²+y(t)² = (rcost+2-2)²+(rsint)² = r²cos²t +r²sin²t = r²

P(x(t),y(t)) = 2y(t)/((x(t)-2)²+y(t)²) = 2rsint/r² = 2sint/r
Q(x(t),y(t)) = -((x(t)-2)²+2(x(t)-2)+y(t)²)/((x(t)-2)²+y(t)²) =
= -((rcost)²+2rcost+r²sin²t)/r² =
= -(r²+2rcost)/r² = -1 - 2cost/r

Integranden blir:
P(x(t),y(t))x´(t)+Q(x(t),y(t))y´(t) = (2sint/r)(-rsint)+(-1-2cost/r)(rcost) =
= -2sin²t-1-2cos²t = -1-2(sin²t+cos²t) = -3

vilket ger:


Så: om jag har räknat rätt (det vete Fan! ) fås till slut:


Nu hoppas jag att någon kontrollräknar…

(Hoho, manne1973, det är dags igen: HJÄÄÄLP...! )

Får man fråga vilken matematikkurs man blir introducerad till kurvintegraler med tillbehör?

Analytiska Metoder och Linjär Algebra 2 på KTH var första gången jag träffade på kurvintegraler.

Vektoranalys, 4 HP.

Förkunskaper:

Envariabelsanalys 1 - 6 HP

Envariabelsanalys 2 - 6 HP

Flervariabelsanalys - 8 HP

På LiTH.

Flervariabelanalys 6hp på Chalmers.

Tillämpad linjär analys, 10 hp, Lunds Universitet.
Dock ingick en del annat också, såsom Fourieranalys och lite partiella differentialekvationer.

Åtminstone var det så hösten 1982