Geometri svår matte

Glöm heller inte att ställa in räknaren på radianer

Du har förmdligen för stor skala på y-axeln. Ser det ut så här?
http://i28.tinypic.com/wla8zs.jpg

Någon aning om hur man ska undersöka hur stort fel uttryckt i % som formeln ger för några olika värden på h?

Gör man på följande sätt? Vilka värden ska man anta på h och R isåfall?

e=storleken på felet

e=
(D=sqrt(2R)*sqrt(h)) <<-efter approximation
/
(d=R*asin(sqrt(h)*sqrt(h+2R)/R)) <<-- innan approximation

?

Vart är Evolute när man behöver han?

Antag att

d=R*asin(sqrt(h)*sqrt(h+2R)/R)

och

d_approx = sqrt(2R)*sqrt(h).

Isf är det relativa felet definierat som

e = |d_approx - d|/|d|

där |...| betyder absolutbeloppet.

Jag antar att uppgiften går ut på att du skall förstå att större värden på h ger ett större fel. Värdet på R är lämpligtvis jordens radie (R ~ 6 371 000 m), och du får välja några vettiga värden på h, kanske i intervallet 1 - 2000 meter? Ser du inga stora skillnader i % i det intervallet så dra till med något större, typ h = 10 000 meter

Varför är det
e = |d_approx - d|/|d ?

Ska det inte bara vara e = d_approx/d ?

Kan du ta ett exempel för att räkna ut relativa felet i % ?

Om d = d_approx bör felet rimligen vara 0%, inte sant? I ditt fall får du siffran 1.
Däremot, om du tar 1 - d_approx/d så blir felet 0% om d_approx = d.

1 - d_approx/d, eller med absolutbelopp, 1 - |d_approx|/|d| kan skrivas på gemensamt bråkstreck som

(|d| - |d_approx|)/|d| = |d - d_approx|/|d|.

Ett exempel?

Antag att det riktiga avståndet är d = 10, men enligt din approximations-formel får du att d_approx = 12. Isf är det relativa felet

e = |10 - 12|/|10| = 2/10 = 0.2 = 20%

Eller, om det riktiga avståndet är d = 10 och du får d_approx = 8, så blir relativa felet

e = |10 - 8|/|10| = 2/10 = 20%

d.v.s. samma sak, eftersom det är "avståndet mellan de två värdena" som är viktigt, inte om det ena är större eller mindre än det andra, o.s.v.

Ett realistiskt exempel är (jag antar att dina formler stämmer)

R = 6 371 000 m
h = 10 m

d=R*asin(sqrt(h)*sqrt(h+2R)/R)
= 6371000*asin(sqrt(10)*sqrt(10 + 2*6371000)/6371000)
= 11288.05711... m

och

d_approx = sqrt(2*637100)*sqrt(10)
= 11288.04678... m.

Relativa felet är

e = |11288.04678 - 11288.05711|/|11288.05711|
= 0.01033476/11288.05711 = 0.00000091555... ~ 1*10^-6 = 0.0001 %.

Eftersom h är så litet, och jordens radie oerhört stor, så blir felet med andra ord helt försumbart.

Testa att räkna för h = 2000, eller 10 000 m och se om det blir nån skillnad.

TacK! Har en fråga angående h<<R.

Hur kan man approximera h+2R med R i
sqrt(h)*sqrt(h+2R)

så att det blir
sqrt(2R)*sqrt(h)

?
Hur förklarar du det med ord att man bara kan utesluta h på det viset? Varför gör man det bara i h+2R och inte sqrt(h) också?


Nästa fråga är angående att sin(v) ungefär är v.

Varför är v << 1? (v mycket mindre än 1)

Angående bilden
http://i29.tinypic.com/155nl9s.jpg så är sin(v) ungefär lika stort som v. Men vad kan man anta att värdet är på v i vårt tal så att man kan utesluta det? Förklara hur vi tänker kring just uteslutandet av sin(v) med stöd av att sin(v) är ungefär lika stort som v då v << 1.

Den exakta formeln är:

cos v = R/(R+h).
d = R*v = R*arccos(R/(R+h)).

Om h är litet så är d ungefär lika med raka vägen eftersom jordens yta inte kröker sig så mycket på så kort sträcka. Detta ger följande approximationsformel:

d ~= sqrt( (R+h)^2 + R^2 ) = sqrt(2*R^2 + 2Rh + h^2) = sqrt(2*R^2 + 2*R + h)*sqrt(h) ~= sqrt(2*R) * sqrt(h)

Alltså k = sqrt(2*R)

Japp. Har fått fram samma lösning. Kan du svara på inlägg 02:09?

Om du antar att 2R>>h så kommer h termen inte spela så stor roll. Alltså räcker det att ha med 2R. I sqrt(h) så finns det ingen annan term som "tar över" så där kan du inte ta bort den och sätta den till noll.
Det är lite samma princip som att ∞+1=∞. Dvs om 2R är jättemycket större än h, så är 2R+h≈ 2R, däremot är h fortfaranande lika med h.
Ok?

Att säga att sin(v)≈ v då v << 1 är en aning förvirrande. Bättre att säga att det gäller för små v, då 1 egentligen inte har nåt med sammanhanget att göra. Kan lika gärna säga då v << 100.

Du kan ju t.ex. plotta hur felet beror på v och utifrån det bestämma hur stort v kan vara för att du ska kunna acceptera felet.