0.9999... = 1 och andra lustigheter

Kan du ta en länk tack, eller något som är vettigt över huvud taget? Om du skapar ett "tal" (spel) som är 0.99999... i kombinatorisk spelteori så kommer det att vara strikt mindre än 1 då om vi tar 1 minus 0.9999.... så kommer vänster alltid att vinna.
0.99999... definieras av en series konvergens, om du tar en godtycklig topologi så kan du få att 0.999999....=2 tex så inte alls konstigt.

[quote=Klockan3] Visserligen, men rummet behöver inte vara komplett, vilket euklidiska rum är. Det räcker att ta Q, mängden av rationella tal (eller t.o.m. vissa delmängder därav), för att definiera 0,999... Än mindre behövs en inre produkt.

Jag är ingen hejare på matematik, men jag minns från gymnasiet någonting om att:

Om man dividerar ett tal, med ett tal av samma längd och antal decimaler enbart bestående av nior, får man en nolla följt av det tal man har i täljaren oändligt många gånger.

Ett exempel är:

123/999 = 0.123123123...
12345/99999 = 0.1234512345...

Detta går att bevisa genom att räkna ut att resten alltid följer en och samma ordning
Då borde detta gälla också:
9/9 = 0.99...

Nu vet vi dock att ett tal dividerat med sig själv är lika med 1.

9/9 = 1
9/9 = 0.99...

Av något ekvivalensaxiom eller dylikt vars namn jag ej kan får man väl då att:
9/9 = 1 = 0.99...

Känns som detta gör en tillräckligt logisk förklaring varför 1 = 0.99...
Jag förstår det iaf.

Men när du gör på det sättet så använder du den euklidiska topologin vilket jag sa att du inte skulle. Att använda Dedikindsnitt är bara ett sätt att konstruera de reella talen ifrån de rationella men den använder den euklidiska topologin indirekt.

I konstruktionen med Dedekindsnitt används endast ordningsrelationen hos rationella tal för att definiera reella tal. Om (E(k), F(k)) är snitten för 0; 0,9; 0,99; 0,999; ... skulle 0,999... kunna definieras som (∪E(k), ∩F(k)), dvs utan att använda topologin hos de rationella talen.

Men ordningen hos rationella talen inducerar den Euklidiska topologin, du kommer inte ifrån den då man inte kan prata om olika slags gränsvärden utan att ha en topologi på ett eller annat sätt. Mängden av Dedekindsnitt är också en bas till den Euklidiska topologin.

Edit: Grejen är att så fort du har en totalordning så har du en topologi eller så fort du har definierat en metrik så har du en topologi, du behöver inte definiera topologin i sig.

Du skrev tidigare att jag använder euklidiska topologin. Nu säger du bara att ordningen hos de rationella talen inducerar den euklidiska topologin. Men detta betyder inte att jag använder den euklidiska topologin när jag använder ordningen.

Grejen är att även om du inte definierat topologin explicit så använder du den genom att använda ordningen på det där sättet. Att säga att du inte använder topologin i det här fallet är ungefär som att säga att man inte använder topologin när man pratar om kontinuerliga funktioner eller att man inte räknar med grupper, ringar och kroppar när man lär sig de fyra räknesätten. Topologier är generaliseringar av strukturer med gränsvärden och alla strukturer med gränsvärden är topologiska rum, den Euklidiska topologin är bara den som vi tycker är mest naturlig av dessa. Tex så tar du 0.999... som gränsen av 0 0.9 0.99 osv.

Följt tråden hyfsat bra den senaste månaden, och detta var något nytt tror jag. Undra hur folk som vägrar inse att 0.999....=1 ska förklara detta

Man kan uppenbarligen inte dela ett tal med ett annat tal som enbart består av 9or.

namnet på den här tråden vittnar om att den skapats av någon som inte läst eller förstått cantors definition av de reella talen. en snabb genomläsning av vad som hittills postats, tillsammans med den andra enormt långa tråden om samma fråga, visar att han eller hon är i gott sällskap.

att lösryckt och utan referens anspela på en obskyr (jag föredrar det ordet framför mannes "intressant", med all respekt) tillämpning av en icke-standard modell för analysen med frasen "det stämmer givetvis inte i alla sammanhang" hjälper inte någon att förstå varför de två decimalutvecklingarna 0,99.. och 1 betecknar samma reella tal. tvärtom gör det något som egentligen är ganska enkelt till att verka mer komplicerat.

vi har redan sett exempel i den här tråden (om jag minns rätt) på behovet av att tydligt specificera vår notation då någon ansåg att symbolen e redan var upptagen. det tyder förstås på en viss matematisk omognad, men att tolka decimalutvecklingar som representerande reella tal är än mycket mer konventionellt. att påstå att 0,99.. ibland är strikt mindre än 1, utan att förklara att samma symboler representerar olika matematiska begrepp i de olika sammanhangen, låter påskina att det skulle finnas någon sorts tvetydighet eller kontrovers i frågan, vilket det inte gör. det är att hälla vatten på knäppgökskvarnen.

människor som manne, evolute och apanlapan (för att nämna de första jag kommer att tänka på) lägger stora ansträngningar på att klart och tydligt, om och om igen, reda ut och korrekt förklara allsköns frågor i de här ämnena, tillfälle att få visa stjärtfjädrarna i form av fikonspråk är inte rimlig motivering till att göra det arbetet tyngre än vad det redan är.

Säg att du eller jorden inte dör/förstörs av något, hur länge kan du springa innan jorden tar slut?