Klurig mattefråga!

Hej, har fått i uppgift av skolan att räkna ut hur stor chans det är att få en "kåk" om man får 5 kort ur en kortlek.

Jag har ingen aning om hur man ska räkna ut det, så om de finns nån som vet hur man gör så hjälp mig gärna lite på traven. Jag måste skriva en hel uträkning så bara svaret räcker inte, så om nån kan berätta lite hur jag ska göra så vore jag riktigt tacksam.

Tack på förhand!

första kortet spelar ingen roll vilket som dras: P1 (sannolikhet) = 1
andra kortet ska vara ett av de 3 kvarvarande som är samma som kort 1: P2 = 3/51
tredje kortet ska vara ett av de 2 kvarvarande som är samma som kort 1&2: P3 = 2/50
fjärde kortet vilket som helst, dock inte det sista kvarvarande av det första: P4=48/49
femte kortet ska vara ett av de tre som finns kvar av de fjärde: P5=3/48.

P1*P2*P3*P4*P5=3/20825

Med reservation för att jag kan ha missat någon möjlig utgång pga bakfylla.

Nu räknade du sannolikheten att först få tre av samma sort och sedan två av en annan sort, men korten kan komma i en annan ordning och det blir i allafall en kåk.
Men nu är han hjälpt på traven.

Jepp, det var det jag syftade på. Men eftersom jag inte kunde garantera något heltäckande svar så nöjde jag mig med en inledning...

Arne gav en bra inledning. Läs lite om permutationer.

Och vad händer om man drar korten så här:
A-B-A-B-A-B

Egentligen så spelar inte ordningen någon roll, eftersom sannolikheten att dra EN kåk inte beror på ordningen.

Ja arne hade en bra ide.

Räkna först ut chancen att rolla ett 3tal på 5 kort.
Multiplicera med chansen att dem två sista korten är likadana, dvs 3/48
(3 kort ingår i trissen, 4de kortet spelar ingen roll, 4 kort kända totalt, alltså 48 okända kort.)

Lösning med permutationer:

(52 * 3 * 2 * 48 * 3 * 10) / (52 * 51 * 50 * 49 * 48) = 6/4165

Förklaring:
Första draget kan vi dra ett kort, vilket som helst = 52 val
Sedan när vi valt det kortet finns det ytterligare tre stycken kort som duger för att vi ska få vårt triss. Efter det krävs det två. Därefter väljer vi ett nytt kort, vilket som helst men dock duger inte det sista kortet eftersom vi då skulle få fyrtal således väljer vi bland 48 kort. Därefter duger tre. Men är det säkert att vi alltid drar trisset först och sedan paret? Nej, naturligtvis inte. Vi måste ta med i beräkningarna på hur många sätt fem kort kan delas ut, vilket jag får till 10. Detta divideras med antalet permutationer fem kort!

Ett annat sätt att se på problemet...


Först lite formler från kombinatorikens förlovade land:

Antalet sätt att välja k objekt av n när man tar hänsyn till ordningen (permutationer): P(n, k) = n! / ((n - k)!)

Antalet sätt att välja k objekt av n när man ej tar hänsyn till ordningen (kombinationer): C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

n! = 1 * 2 * 3 * ... * n eller om man gillar rekursiva definitioner så är 0! = 1 och n! = n * (n - 1)!


Lösning:

Först väljer vi vilken valör som trissen skall ha och vilken valör paret skall ha. Detta kan göras på P(13, 2) sätt. Sedan väljer vi vilka tre kort av den valda valören som skall utgöra trissen, vilket kan göras på C(4, 3) olika sätt. Sedan väljer vi på samma sätt kort till paret, vilket kan göras på C(4, 2) olika sätt. Multiplicerar man ihop dessa tre tal så får man antalet sätt att välja en kåk på. Nu var det dock sannolikheten vi var ute efter så vi behöver även veta hur många sätt man kan välja en femkorts pokerhand på, vilket är C(52, 5).

Sannolikheten att få kåk är alltså P(13, 2) * C(4, 3) * C(4, 2) / C(52, 5) = 6/4165.

Det är tur att ni båda levererar vettiga lösningar som har samma resultat.

Du kan rita det så här
så ser du att det finns fem vägar till kåken. Skriv in sannolikheterna
för övergångarna, ta produkten för varje väg och addera de fem vägarnas
sannolikheter.