Matematikens framsteg under senare tid

Jag läste tråden om vilka framsteg som har gjorts inom fysiken och naturvetenskapen i allmänhet de senaste decennierna, varför man inte talar om lika stora explosioner i utvecklingen som t.ex. under sena 1800- och tidiga 1900-talet. Hur ser det egentligen ut för Matematiken? Jag kan tänka mig att höjdpunkterna ligger kring antiken, renässansen, upplysningen och under 1800- och tidigt 1900-tal. Det rör sig ju självklart om vilka områden inom Matematken man talar om, men om man försöker se på det mer allmänt.

Återupptäkten av den kosmologiska konstanten http://sv.wikipedia.org/wiki/Kosmologiska_konstanten, får väl ändå anses som en större upptäkt nyligen, vet inte om det hör till matten dock.

Modern matematisk forskning är ofta, men inte alltid, svår att presentera populärt. Några stora problem som "lösts" de senaste decennierna är:

Fyrfärgsproblemet: Antag att du har en plan karta med alla landgränserna utritade. Du vill nu ge alla länder en egen färg på ett sådant sätt att två länder som gränsar mot varandra inte har samma färg. Hur många olika färger behövs? Räcker fyra? Att fyra färger räcker visades 1976 av Appel och Haken med hjälp av kontroversiell datorassisterad bevisteknik.

Fermats stora sats: Det finns inga heltalslösningar x, y, z till x^n + y^n = z^n för n > 2. Det bevisades av Wiles 1995.

Kontinuumhypotesen: Antalet heltal är oändligt, precis som antalet decimaltal men decimaltalen är fler än heltalen. Finns det någon "oändlighet" vars storlek ligger mellan dessa två? Cohen visade 1963 att denna utsaga inte kan bevisas utgående från de antaganden (axiom) vi vanligtvis använder. Det var tidigare känt att det inte kan motbevisas.

Keplers förmodan: Antag att man har en mängd perfekt sfäriska bollar som man vill packa så tätt som möjligt. Keplers förmodan är att det inte finns någon packning som fyller större delen av volymen med sfärer än ca 74 % (motsvarande ytcentrerad kubisk packning). Hales gav ett bevis för detta 1998 som är mer eller mindre accepterat av det matematiska samfundet. Gauss visade redan 1831 att denna förmodan är sann om packningen är periodisk.

Klassificeringen av ändliga enkla grupper: En grupp är ett matematiskt objekt som, något förenklat, består av en mängd element och en binär operation mellan dem. En binär operation mellan två element ska ge upphov till ett annat element i gruppen. En oändlig grupp är ex. heltalen då den binära operationen är addition. En ändlig grupp utgörs ex. av alla möjliga permutationer av 123 där den binära operationen är sammansättning av permutationer. De ändliga grupperna kan sägas vara uppbyggda av de enkla ändliga grupperna. Mellan ca 1955 och 1983 klassificerades alla ändliga enkla grupper som existerar. Här är en lista på alla grupperna.

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of..._simple_groups


Som du ser säger jag inget om HUR de bevisade dessa satser eftersom jag inte förstår det själv och jag är heller inte rätt man att sätta upptäckterna i perspektiv. Men kontentan är alltså att matematiken hela tiden utvecklas och går framåt.

Matematisk analys har ju förekommit empirisk analys inom mycket av den mest spektakulära naturvetenskapen (kvantmekanik, relativitetsteori, kosmologi). Matematisk "skönhet" lär ha fungerat förträffligt som prognos på vilka modeller som mätvärden kommer att bekräfta när nån gång i framtiden tillräckligt avancerad mätutrustning uppfunnits. Det verkar vara matematikerna som upptäcker universum.

Om man kan tala om rationalism och empirism som två traditioner i naturvetenskapens framväxt, så kan man nog säga att rationalismen har överraskat i sin effektivitet. Jag kan förstå dem som skakade på huvet åt t.ex. Galileo och tyckte att jaja, det råkar tydligen vara möjligt att räkna på bl.a. fallrörelser. Men det måste ju vara tillfälligheter. Det finns ingen anledning att tro på såna vidskepelser som att det i någon vidare mening skulle gå att tillämpa matematik för att beskriva naturen...

http://en.wikipedia.org/wiki/The_Unr...tural_Sciences


Man har för bara några år sen fullständigt beskrivit en matematisk struktur som "upptäcktes" för över 100 år sen och som kallas E8, en "Lie algebra". Dess symmetri har tillämpats inom strängteori, och i höstas föreslog frilansaren Garret Lisi att denna E8 på ett mycekt mer direkt sätt skulle kunna användas för att beskriva alla elementarpartiklars egenskaper och växelverkan. Han gjorde prognoser för massa m.m. för ännu icke upptäckta partiklar, utifrån symmetrierna i denna matematiska struktur.

http://www.economist.com/science/Pri...ry_id=10170958
http://uk.youtube.com/watch?v=-xHw9zcCvRQ

Perelman står ju för en annan ny, han visade ju Poincarés förmodan som föreslogs i början av 1900-talet. Det är för de som ej är insatta han som numer bor hemma hos sin mamma och som vägrade ta emot Fieldsmedaljen! Så visst går det framåt, det finns massor av ny och intressant matematik.

Problemet är väl att det inte är som fysik, kemi, biologi och annat att man kan visa upp något som är begripligt för allmänheten. Ofta så är det svårt att veta tillämpningar också, det brukar ju sägas att tillämpningar av matematiken kommer först flera hundra år efteråt.

Den största skillnaden mellan nutidens matematik, och matematiken fram till tidigt 1900-tal är främst bevisen, som har blivit mer fysiska än någonsin. Nu används ofta datorer för att utföra "grovgörat" i bevisresonemangen. Ett väldigt bra exempel på detta är fyrfärgsteoremet.

Bevismetoden var i stora drag att man på algebraisk väg lyckades finna de "värsta" scenarion som fanns, men de var för många för att man skulle kunna visa alla för hand, så man använde sig av en dator.

Ett annat problem man har nu för tiden är att bevisen ofta är så äckligt långa och kunskapskrävande att det bara finns en människa på jorden som kan förstå dem, nämligen bevisaren själv. Detta är ett stort problem eftersom det skulle kräva matematiker som på heltid jobbade med att verifiera andras satser, vilket givetvis ingen vill syssla med. Fermats förmodan är ett exempel på detta, då det endast finns kanske en handfull människor i världen som råkat intressera sig för elliptiska kurvors egenskaper, och ännu färre som har de nödvändiga kunskaperna inom algebraisk talteori.

Visst är det så men har man hyfsad koll på matte så fattar man vad beviset för Fermats förmodan går ut på. Även om man inte är 100% på detaljerna så fattar man varför det hela gick ihop.

Fast visst är det så att matematiken blivit så specialiserad de senaste 50 åren att det är svårt att förklara rönen inte bara för allmänheten utan även för kollegor med en annan inriktning. I biografier över matematiker brukar man hävda att David Hilbert var den siste matematiken som begrepp alla grenar av matematiken. En professor på 60+ i matematisk statistik berättade för mig om en licavhandling i algebra han hade varit på nyligen där han enligt han själv inte fattat ett jota vad det handlade om.

Hur ska man lösa problemet med "för svåra" bevis?
Skulle det gå att bygga en dator som verifierar bevis, eller är matematikens framsteg på väg att kulminera och vi får acceptera att det är 99% chans att ett bevis är rätt? Är det någon idé med att matematiker ens försöker bevisa saker längre, då empiriska data och heuristiska argument väger minst lika tungt?

Det finns forskning där man försöker ta fram dataprogram som testar om bevis är korrekta, det finns säkert någon här som kan mycket mer om hur långt man kommit där.
Att empiriska data och heuristiska argument väger lika tungt håller jag definitivt inte med om. Empiriska data kan falsifiera men aldrig verifiera en hypotes. I mycket "ren" matematik har man heller ingen verklighet att förhålla sig till.
Heuristiskt argument betyder väl bara att man har ett halvfärdigt bevis.

Jag kanske var lite otydlig. Tänk dig följande scenario:
Goldbachs sats säger att varje jämnt tal kan skrivas som summan av två primtal. Denna sats är obevisad. Antag att en utomjordisk livsform har jobbat fram ett bevis. Det finns bara ett problem: Beviset är 300 miljarder sidor långt. Den utomjordiska rasen dog ut för länge sedan, och människan hittar beviset. Även om beviset i stora drag verkar bestå av korrekta resonemang, finns det inte en chans att verifiera det, och det finns ingen som kan intyga att det är sant. Däremot finns det en tabell över jämna tal och hur de kan representeras som summan av två primtal, för jämna tal mellan 2 och säg, 10^10^10^10.

Vad skulle du lita mest på, tabellen eller "beviset"? Det var detta jag menade med att insamlade data kan väga tyngre än bevis. Det finns inget som hindrar att 10^10^10^10 + 2 motbevisar satsen, men de flesta skulle nog satsa 1000 spänn på att talet inte gör det.

Det där är så jävla coolt. Finns inget häftigare än supergamla problem som löses. Speciellt inte när satsen är så extremt vacker!

Ferma hävdar ju att han hade ett bevis, vilket knappast är troligt enligt Wiles! Jag litar på Wiles!