Klotets volym, jag får en annan formel

Så här tänker jag:

Volymen för klotet:

pi
∫ ((r*sin v)^2 * pi) dv = ((r*pi)^2)/2
0

Den liknar ju inte alls den orginala ekvationen (4*pi*r^3)/3

Vet inte riktigt vad du försöker göra men rymdpolära koordinater gör det hela mycket enklare.

x = r * sin(a) * cos(b)
y = r * sin(a) * sin(b)
z = r * cos(a)

0 < r < R
0 < a < pi
0 < b < 2pi

2pi_pi___R
∫__∫___∫ 1 dr db da
0__0___0

tror jag

2pi_pi___R
∫__∫___∫ 1 dr db da
0__0___0
=>
pi___R
∫___∫ 2pi dr db
0___0
=>
R
∫ 4pi^2 dr db
0
=>
4Rpi^2
Nej dehär va ju inte rätt, citera inte mig jag återkommer.

Dela upp klotet med radie R i cirkulära skivor med radien r = √(R²-z²). Volymen av en sådan skiva blir πr²dz = π(R² - z²)dz. Integrera från z = -R till z = R. Resultatet blir

V = π((R³ - (-R)³ - (R³/3 - (-R)³/3) = πR³(2 - 2/3) = 4πR³/3.

Där har vi det ^^

Enklast är väl att utgå från pythagoras sats:

låt r vara radien av en halvcirkel i xy-planet blir således:

r^2 = x^2 + y^2 --> y = sqrt(r^2 - x^2)

Rotationsvolym runt x-axeln
r
∫ pi*(f(x))^2 dx = pi*∫r^2 - x^2 dx = pi*[xr^2- x^3/4] stoppa in gränserna
-r

pi*[(r^3 - r^3/3 - (-r^3 + r^3/3)] = pi*[2r^3 - 2r^3/3] = pi*[(6r^3-2r^3)/6] = 4*pi*r^3/3

Glömde funktionaldeterminanten.

2pi_pi___R
∫__∫___∫ r^2 * sin(b) dr db da
0__0___0

pi___R
∫___∫ r^2 * sin(b) dr db * 2pi
0___0

R
∫ r^2 * -(cos(pi) - cos(0)) db * -2pi =
0

R
∫ r^2 dr * 4pi
0

4pi * R^3 / 3 = (4/3)pi*R^3

Sådärja!