Jag har skrivit det förut men skriver det igen.
Om vi använder Einsteins eget argument som han presenterade 1905 i artikeln "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?" (Beror kroppars tröghet på deras energiinnehåll) i tidskriften Annalen der Physik så har vi nedanstående.
Antag att vi har ett koordinatsystem (x,y,z) där en ljusstråle med energi E färdas med vinkel φ mot x-axeln. Inför nu ett nytt koordinatsystem (x',y',z') som färdas med hastigheten v längs x-axeln. Energin E' som mäts i detta system förhåller sig till energin som mäts i det andra systemet som
E' = E*(1-cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²).
Detta resultat visade Einstein i sin tidigare artikel 'Zur Elektrodynamik bewegter Körper' (Angående elektrodynamiken hos kroppar i rörelse) som lade grunden till speciella relativitetsteorin m h a Lorentztransformationen.
Tänk dig nu en kropp i vila med energin E0 i systemet (x,y,z) som sänder ut en stråle med riktning φ mot x-axeln med energi L / 2 och en stråle i motsatt riktning. Energin hos kroppen efter den sänt ut strålarna betecknas E1. Eftersom energin måste bevaras har vi
E0 = E1 + L/2 +L/2 = E1 + L.
Eftersom alla icke-accelererande referensystem är lika giltiga måste även energin bevaras i (x',y',z'):
E0' = E1' + (L/2)*(1-cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²) + (L/2)*(1+cos(φ)*v/c)/√(1-v²/c²) = E1' + L/√(1-v²/c²).
där vi använt att den andra strålningen färdas i riktning (φ+π) och cos(φ+π) = -cos(φ).
Genom att subtrahera dessa ekvationer fås
(E0'-E0) - (E1' - E1) = L(1/√(1-v²/c²)-1).
Eftersom E och E' är energin hos en kropp i två referenssystem som rör sig relativt med varandra och kroppen är i vila i det ena systemet, så måste skillnaden i energi helt enkelt vara skillnaden i kinetiska energi hos kroppen. Egentligen ska vi också lägga till en konstant C eftersom nollnivåerna för energierna kan välja godtyckligt, men den tas ut i subtraktionen. Ekvationen ovan kan alltså skrivas
K0 - K1 = L(1/√(1-v²/c²)-1).
Om man nu antar att v är liten i förhållande till c så har vi
K0 - K1 = ½(L/c²)v² [jmfr med ½mv²]
Eftersom speciell relativitetsteori måste vara lika med Newtons mekanik i gränsen för små hastigheter ser man att då man skickar ut energin L från en kropp så minskar massan med L/c^2. Detta är sant för godtyckligt små v, så vi kan se referenssystemen som identiska och helt enkelt fastslå att det gäller för en kropp i vila. Sen spelar det ju ingen roll att energin L vi tar bort från kroppen är strålning eftersom relationen ovan visar att en massa m motsvaras av L/² och alltså
L = mc^2 eller E = mc² som vi brukar se den.
Jag baserade min framställning på de engelska översättningarna av hans originalartiklar.
Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig?
Zur Elektrodynamik bewegter Körper
