Oändligt vadslagning med stor vinstchans! kommer du någonsin gå bankrutt?

Nej, inte om du laborerar med det teoretiskt. Då måste man strikt gå på väntevärdet, sannolikheter mm, vilket gör att du aldrig kommer att gå bankrutt. Tittar du på det praktiskt så kan det inträffa. En stokastisk process är i teorin jämnt fördelad över sina utfall, oavsett tid. Men i praktiken så kan man mycket väl råka ut för att fördelningen över utfallen inte är homogen. Men med tiden så kommer fördelningen att bli jämnt fördelad.
Jmf detta med att slå två tärningar. Att slå två ettor händer bara 1 gång per 36ggr i teorin. Men ställer du upp experimentet praktiskt så kan det vara så att du börjar med att slå två ettor och då kommer din slutsats (om än felaktig) vara att det händer alltid. Likaså kan det faktiskt bli så att blir sittandes i oändlighet och aldrig lyckas slå två ettor. Men det mest troliga är att efter att du har gjort ett antal försök så är din slutsats att två ettor inträffar var 36:e kast.

Dubbelpost, my fault

Förutsättningar:

• Du har 1 kr
• Du måste spela så länge du inte är pank
• 50% chans att vinna
• 50% chans att förlora
• Om du vinner får du 2 kr
• Om du förlorar förlorar du 1 kr

Det jag ska försöka göra nu, är att transformera detta problem till problemet "gambler's ruin".

Min idé att att se 2 kr i taget på tallinjen, 1-2, 3-4, 5-6 o.sv. Sen undersöker vi sannolikheten att gå upp eller ner till nästa box.

Sannolikhet att gå ner i förmögenhet, två fall (lika sannolika):

1. Vi äger ett udda antal kr: 0,5
2. Vi äger ett jämnt antal kr: 0,5 x 0,5 = 0,25

Alltså en sammavägd sannolikhet på 0,5 x 0,5 + 0,5 x 0,25 = 0,375

Sannolikhet att gå upp i förmögenhet, två fall:

1. Vi äger ett udda antal kr: 0,5
2. Vi äger ett jämnt antal kr: 0,5 + 0,5 x 0,5 = 0,75

Alltså en sammavägd sannolikhet på 0,5 x 0,5 + 0,5 x 0,75 = 0,625

Kontroll: 0,375 + 0,625 = 1.

Sannolikhet att inte bli pank (enligt känd formel): 1−(q/p) = 1-(0,375/0,625) = 0,4
Sannolikhet att bli pank = 0,6

Tror ni på detta? Eller har jag någon spricka i detta bevis? Ett problem är väl starten, då man står på 1 kr, och i första omgången så har man ju 50% att bli pank, inte 37,5%, så sannolikheten att bli pank är väl något större...

Källa: http://www.columbia.edu/~ks20/4701-0...-Notes-GRP.pdf

Att räkna ut sannolikheten givet de ursprungliga förutsättningarna (+6/-2) lämnas till den intresserade läsaren :-)

Jag vill bara säga att jag ändrat mig, vilket visar att man inte får tänka för "intuitivt" i matematik (om man inte har fantastisk matematisk intuition).

Jag kan försöka mig på ett annorlunda uträkning för sannolikheten. Antag att vi startar med a kronor. Vad är sannolikheten att hamna på 0 kronor om sannolikheterna för vinst och förlust är 50/50 och vinsten är 3 kronor och förlusten 1 krona? Att vi tar 3 och 1 krona istället för 6 och 2 spelar givetvis ingen roll.

Kalla sannolikheten att någon gång hamna på noll om man startar med a kronor för f(a). Då måste följande differensekvation gälla

f(a) = ½f(a+3) + ½f(a-1)

Det jag gjort är bara att hoppa ned ett steg i "sannolikhetsträdet" i högerledet. Den här differensekvationen har en karaktäristisk ekvation

r^4 - 2r + 1 = 0

och lösningen blir (finns inga multipla rötter)

f(a) = c1*r1^a + c2*r2^a + c3*r3^a + c4*r4^a

där

r1 = 1,
r2 = 0.5437,
r3 = -0.7718 + 1.1151i,
r4 = -0.7718 - 1.1151i.

Eftersom f är en sannolikhet så ligger den mellan 0 och 1. De komplexa rötterna har ett absolutbelopp > 1 så de kommer växa utan gräns, därför måste c3 = c4 = 0. Det är också uppenbart att då a → ∞ måste vi ha f(a) → 0 så c1 = 0 (om inte f(a) = 1 konstant). Vidare är f(0) = 1 (vi befinner oss då redan i nollan) vilket ger c2 = 1. Sannolikheten för att komma tillbaka till 0 (eller mindre) om man startar i noll blir då

½ + ½f(3) = 0.5 + 0.5*0.5437³ ≈ 0.58 = 58 %,

vilket överrensstämmer med tidigare uträkningar i tråden.

För att "få" ett spel där vi garanteras att komma tillbaka till nollan måste vi förskjuta sannolikheterna så att alla lösningar till den karaktäristiska ekvationen r^4 - (1/p)r + (1-p)/p = 0 har |r| ≥ 1. Detta sker då p ≤ 0.25.

zipzap86: Använder jag samma formalism på ditt problem blir sannolikheten att gå tillbaka till noll (eller mindre) 0.5 + 0.5*0.618² ≈ 69 %.

Tjusigt!

En fråga bara kring formulerlingen "om inte f(a) = 1 konstant". Antar du att detta inte är fallet? Det är ju nämligen det man ska motbevisa.

Nej, det jag menar är att endera är f(a) = 1 konstant eller så måste f(a) gå mot noll. I det här fallet är f(a) inte konstant 1 eftersom c2 inte är noll och således måste c1 vara noll. Jag letade efter en bättre förklaring där så någon får gärna hitta ett annat sätt att uttrycka det.

Ok, då är jag med! Bra jobbat!

Kan vi vara överens om att påståendet är motbevisat?

Men det är väll inte helt sant, f(a) kommer gå mot c1 och c1+c2=1. Det som gör att fallet c1 > 0 är orimligt är att f(a) i princip måste ha samma beteende som motsvarande funktion för situationen med lika vinst/förlust-värden men med olika sannolikheter.

Men väldigt snygg beräkning iaf

Ja min motivering är dålig men det borde finnas någon annan enkel motivering.