Citat:
Ursprungligen postat av eduja
n>1, n=Z
Skall det visas för n>1 eller för alla heltal (Z; även negativa)? Jag väljer att visa det för n = 0, 1, 2, 3, ...
Citat:
Ursprungligen postat av eduja
suttit och pulat med följande uppgift och kommit till punkten där jag ska visa att detta funkar med hjälp av induktionsbevis, vilket efter många timmars försök jag håller på att ge upp. Så om nått fb snille skulle kunna hjälpa skulle jag vara väldigt tacksam
|k+1 k-1|^n = 2^n-1 |k^n+1 k^n-1|
|k-1 k+1| |k^n-1 k^n+1|
Låt A(x, y) beteckna en 2x2-matris där båda elementen på huvuddiagonalen är x och de på den andra diagonalen är y. Sambandet ovan kan då skrivas
A(k+1, k-1)^n = 2^(n-1) A(k^n+1, k^n-1)
Det är också lätt att se att mängden av matriser på denna form är sluten under multiplikation:
A(x, y) A(z, w) = A(xz+yw, xw+yz)
Basfall:
Om n=0 blir VL = A(k+1, k-1)^0 = I (enhetsmatrisen) och HL = 2^(-1) A(2, 0) = A(1, 0) = I (enhetsmatrisen), så likheten gäller för n = 0.
Induktionssteg:
Fixera n ≥ 0 och antag att A(k+1, k-1)^n = 2^(n-1) A(k^n+1, k^n-1). Vi skall visa att A(k+1, k-1)^(n+1) = 2^((n+1)-1) A(k^(n+1)+1, k^(n+1)-1)
= 2^n A(k^(n+1)+1, k^(n+1)-1).
Vi har...
A(k+1, k-1)^(n+1) = A(k+1, k-1) A(k+1, k-1)^n = [enligt antagandet]
= A(k+1, k-1) 2^(n-1) A(k^n+1, k^n-1) = 2^(n-1) A(k+1, k-1) A(k^n+1, k^n-1)
= [enligt multiplikationsregeln för matriser på denna form]
= 2^(n-1) A((k+1)(k^n+1)+(k-1)(k^n-1), (k+1)(k^n-1)+(k-1)(k^n+1))
= 2^(n-1) A(2k^(n+1)+2, 2k^(n+1)-2)
= 2^n A(k^(n+1)+1, k^(n+1)-1)
Vi har visat basfallet n=0 och induktionssteget (för n≥0) och kan då enligt induktionsprincipen dra slutsatsen att likheten gäller för alla n≥0.
