Kvadratroten som reell funktion betraktat är inte definierad för negativa argument. Istället måste du använda den komplexa varianten av kvadratrotsfunktionen som gäller för alla komplexa tal. Denna funktion visar sig vara flervärd, alltså för varje argument kan du få flera värden. Eftersom man ofta vill ha en envärd funktion så väljer man en
gren av funktionen som är envärd. När man tittar närmare på definitionerna finner man att det inte är tillåtet att göra uppdelningen √((-1)²) = √(-1)*√(-1).
Låt oss säga att vi inte vet huruvida x^(½) är en flervärd funktion eller inte för komplexa x. Notera att √(y) används för den positiva reella roten ur det positiva reella talet y. Antag x komplext och låt log vara den komplex logaritmfunktionen, ln den reella naturliga logaritmfunktionen, arg(x) argumentet för x, och Arg(x) principialargumentet för x. Vi har nu (kräver att vi definierat den komplexa logaritmfunktionen)
x^(½) = exp(½log(x)) = exp(½(ln|x|+i*arg x)) = exp(½ln|x|)*exp(i/2*arg(x)) = √(|x|)*exp(i/2*arg(x))
Argumentet kan skrivas arg x = Arg x + 2nπ, där π ≥ Arg(x) > -π. Om vi väljer principialgrenen så sätter man således arg(x) = Arg(x) och funktionen blir envärd. Man kan då skriva
(-1)^(½) = √(1)*exp(iπ/2) = i (Arg(x) = π eftersom -3 ligger på vinkeln π).
Då har vi
(-1)^(½)*(-1)^(½) = i² = -1.
Å andra sidan har vi
((-1)²)^(½) = √((-1)²)*exp(i/2*Arg((-1)²)) = √1*exp(i/2*Arg(1)) = 1*exp(0) = 1. (Arg(1)=0)
För att få värdet -1 på detta uttryck måste man använda arg(1) = 2π ≠ Arg(1), vilket då skulle ge
((-1)²)^(½) = √((-1)²)*exp(i/2*arg((-1)²)) = √1*exp(i/2*arg(1)) = 1*exp(iπ) = -1.
Man kan alltså säga att felet man gör i denna faktorisering är att hoppa mellan olika grenar av en komplex flervärd funktion
