Tensorer

Vad är en tensor? Jag har förstått att det handlar om vektor-notation. Men vad är det för något och vad betyder indexet, hur ska man tolka den fysikaliskt osv?

tack på förhand.

Den här frågan hatar jag. För det första är tensorer extremt lätta att ha att göra med i praktiken men så fort man försöker definiera dem så blir det krångligt. Dessutom används ordet lite annorlunda i matematik och (slarvig) fysik.


Fysikförklaringen

Vissa fysikaliska storheter beskrivs av vektorer eftersom de har en magnitud och en riktning i rummet. För att beskriva vektorer använder man en uppsättning basvektorer. Nu kommer det fina i kråksången: valet av basvektorer skall inte inverka på det som karaktäriserar vektorn. Den fysikaliska storheten måste vara densamma oavsett vilken referensram man använder. En vektor är en tensor av första ordningen.

En tensor av andra ordningen kan representeras av en matris och ett exempel på detta är ledningsförmågan varjs komponenter anger ledningsförmågan i riktning i som resultat av det elektriska fältets komponent i riktning j.

Rent allmänt så är en tensor av ordning n, en linjär operator som överför en tensor av ordning n-1 till en annan av ordning n-1.

Evolute,

kan du rekommendera någon litteratur som man kan läsa som introduktion till tensorkalkyler ärna nån slags självstudiebok då jag inte har någon matematiklärare att plåga. Jag var lite intresserad av ämnet. Jag lånade en bok på bibloteket men tyckte inte den höll måttet.

Jag har ganska svårt att begripa vad tensorer eg är för något. Rent intiutivt så sår man nån slags känsla över vad en vektor är. Men tensorer känns mer abstrakt.

som jag förstått så brottades även Einstein med tensorer och gjorde nån slags förenkling av notationen.

Vektoranalys av Anders Ramgard (ISBN: 91-85484350) har ett kapitel om tensorer som kan fungera som god introduktion. Där finns exempel från bl.a. elektrodynamik och hållfasthetslära som ger en viss känsla för hur de används.
Finns även en introduktion av R. Sharipov på arxiv. Har ögnat igenom den lite översiktligt och tycker den verkar rätt OK. Verkar vara lite utfyllnadstext här & där dock.

Inom fysiken brukar man introducera tensorer som entiteter som transformeras på visst sätt vid koordinatbyte.

Låt ett n-dimensionellt område vara täckt av två koordinatsystem, inte nödvändigtvis rätlinjiga. Koordinaterna i det ena systemet betecknar vi med x^1, ..., x^n, eller generellt x^μ, där μ = 1, ..., n. Koordinaterna i det andra systemet betecknar vi med x'^1, ..., x'^n, eller generellt x'^ρ, där ρ = 1, ..., n. (Siffran skall alltså skrivas i upphöjd position; dock är koordinaterna inga tensorer.) Koordinaterna i det ena systemet kan skrivas som funktioner av koordinaterna i det andra systemet: x^μ = x^μ(x'^1, ..., x'^ρ) och vi kan därmed ta partiella derivator av ena koordinaterna med avseende på de andra derivatorna, ∂x^μ/∂x'^ρ.

Antag nu att vi har en partikel som följer en bana i området. Vid tiden t är koordinaterna för partikeln x^μ(t) i det första koordinatsystemet, x'^ρ(t) i det andra. Låt oss kolla på hur derivatorna, dx^μ(t)/dt resp dx'^ρ(t)/dt, transformeras. Genom kedjeregeln kommer man fram till att
dx^μ(t)/dt = ∑ (∂x^μ/∂x'^ρ) (dx'^ρ(t)/dt)
där summan tas över ρ = 1, ..., n.
Observera att det koordinatsystem vi transformerar till är i "täljaren" i den partiella derivatan, medan det koordinatsystem vi transformerar från är i "nämnaren".
Detta är transformationsregeln för en kontravariant tensor. Sådana skrivs med ett upphöjt index; det var förstås därför jag valde att skriva indexet på x och x' i upphöjd position.

Antag nu i stället att vi har ett skalärt fält ψ. Låt oss undersöka hur derivatorna ∂ψ/∂x^μ resp ∂ψ/∂x'^ρ transformeras. Även här använder vi kedjeregeln, men i det här fallet får vi
∂ψ/∂x^μ = ∑ (∂x'^ρ/∂x^μ) (∂ψ/∂x'^ρ)
där summan tas över ρ = 1, ..., n.
Observera att i det här fallet är det koordinatsystem vi transformerar till i "nämnaren" i den partiella derivatan, medan det koordinatsystem vi transformerar från är i "täljaren".
Detta är transformationsregeln för en kovariant tensor. Sådana skrivs med index i nedsänkt position. Att index är nedsänkt syns dock inte så tydligt i uttrycket ∂ψ/∂x^μ, men det är vanligt att man inför beteckningen ∂_μ = ∂/∂x^μ för att (bland annat) göra det tydligt (där _μ betyder att μ skall vara i nedsänkt position).

Det var en första kort introduktion. Kanske skriver mer vid ett senare tillfälle.