En fråga om kvadrater och rektanglar

Kom att tänka på följande på väg hem från jobbet:

En rektangel har fyra räta vinklar.
En kvadrat har förutom det även fyra lika långa sidor.
Antalet kvadrater måste vara oändligt.
Eftersom att man av varje kvadrat, genom att förlänga eller förkorta två sidor, kan göra oändligt många rektanglar måste det väl finnas fler rektanglar än kvadrater.

Jag vet att detta resonemang inte fungerar eftersom att det inte kan finnas något som är mer än oändligt.. Men samtidigt, om man tänker logiskt, borde rektanglarna vara fler.
Matematiken säger emot logiken. Eller?

Edit: När jag läser igenom mitt inlägg märker jag att det kan feltolkas. Detta är ingen "Haha! Säg emot detta, mattesnillen"-TS utan snarare "Hjälp mig att knyta upp mitt resonemang"

Oändligheter är knepiga att arbeta med. Ditt bekymmer kan nog klargöras genom begreppet kardinalitet, men eftersom jag inte är någon renlärig matematiker hänvisar jag till Hilbert och hans hotell.

Det finns olika stora oändligheter. Det finns en minsta oändlighet till exempel, däremot finns det ingen övre gräns för hur stora mängder kan bli. Man säger att två mängder har samma kardinalitet (innehåller lika många element) omm det finns en bijektiv funktion från den ena mängden till den andra. På så vis kan man visa att det finns lika många naturliga tal som det finns naturliga tal som är jämna. Ty funktionen:

f(n) = 2n där n är ett naturligt tal tar alla n i N och avbildar dem på alla jämna tal. Funktionen är både surjektiv och injektiv och därför så är kardinaliteten för N och 2N lika. Medan man kan visa att det inte finns en bijektiv funktion från N till R, därför så är R mäktigare (har större kardinalitet) än N. Man kan visa att enhetsintervallet 0 <= x <= 1 är lika mäktigt som R och att R är lika mäktig som R^n osv. Men dessa bevis är krångligare än fallet att det finns lika många naturliga tal som jämna tal.

Hur man konstruerar ett exempel för ditt med rektanglar är jag inte säker på. Men intuitivt så tror jag att mängden av alla kvadrater har samma kardinalitet som mängden av alla rektanglar.

Och ditt 'logiken' har det inte med att göra, det har att göra med att matematik ibland går emot den iintuitiva känsla vi har.

Jag hade hört talas om det hotellet men hade aldrig tänkt på att det var av samma slag som min frågeställning. Intressant och roligt


Jag förstod inte allt av det du skrev, för många okända termer. Kort sagt kan man, precis som du säger i ditt första stycka, påstå att det finns olika stora oändligheter? Jag tror att jag, med min nuvarande matematiska förmåga, får stanna där. När jag börjar min utbildning kommer jag säkert förstå ditt resonemang bättre.


Ja, men det var det jag menade. Har man inte kunskapen att "säga emot" blir det intuitiva logiskt.

Japp. Det finns olika stora oändligheter, det finns en gräns för hur liten en oändlig mängd äri. Men det finns ingen gräns för hur stor en oändlig mängd kan bli. Om det var något särskilt begrepp eller särskilda begrepp som var svåra så kan du säga vilka det var så kan jag (eller någon annan) försöka ge en enkel förklaring till det.

Hur liten är den minsta oändliga mängden då?

Ord jag ej visste vad de betydde:

Bijektiv
Surjektiv
Injektiv

Osäker på ett ord också:
Kardinalitet. Om mängden A innehåller 5 element och mängden B innehåller 6, är då A's kardinalitet större än B's?

Den minsta oändliga mängder betecknas med Aleph_0 och den är lika stor som det finns naturliga tal. Alltså, Aleph_0 innehåller lika många element som det finns naturliga tal.

Bijektiv: En funktion är bijektiv om den är surjektiv och injektiv

Injektiv: En funktion är injektiv om f(x1) = f(x2) => x1 = x2, alltså att varje element i definitionsmängden avbildar ett unikt element.

Exempel: Funktionen f(x) = x^2 definerad på R är inte injektiv, eftersom exempel f(1) = f(-1) och mer allmänt f(-x) = f(x).

Exempel: Funktionen f(x) = x definerad på R är injektiv eftersom f(x1) = f(x2) => x1 = x2

Surjektiv: Saxar från Wikipedia då jag inte kommer på en bra formulering själv "Låt X och Z vara två mängder och f en funktion f:X->Z. Då säges f vara surjektiv, eller en surjektion, om det för varje z i Z finns ett x i X sådant att f(x) = z. ".

Exempel: Funktionen y = sin(x) definerad från R till R är inte surjektiv eftersom till exempel y_0 = 2 ligger i R medan det inte finns ett x_0 så att sin(x_0) = 2. Däremot är funktionen y = sin(x) från definerad från R till [-1,1] en surjektiv funktion.

Kardinalitet (eller mäktighet): Det är helt enkelt hur många element det finns i en mängd, exempel C = {1,2,e} så är |C| = 3 och om D = {sqrt(2),e,pi,pi^7,10000} så är |D| = 5. Alltså i detta exempel har mängden D större kardinalitet än mängden C. I ditt exempel så är B:s kardinalitet större än A:s

Edit: Det stod "I ditt exempel så är A:s kardinalitet större än B:s"

Först och främst: jag skrev naturligtvis fel i mitt exempel

Jag blir lite förvirrad angående det minsta oändliga mängden, Aleph_0. Det finns väl färre tal än de naturliga som är delbara med till exempel 15? Dessa tal måste väl ändå vara oändliga de med?

Alla heltal delbara med 15 är också en oändlig mängd, det ointuitiva här är att mängden av alla naturliga tal delbara med 15 är lika stor som mängden av alla naturliga tal. Kardinaliteten för den mängden är Aleph_0 också. Det är väldigt lätt att bevisa, om vi har beteckningen N för naturliga tal och 15N för mängden av alla naturliga tal delbara med 15 så ska vi visa att det finns en bijektiv funktion från N till 15N. Vi kallar den:

f: N -> 15N

Funktionen f(n) = 15n duger, den uppenbarligen injektiv eftersom f(n_1) = f(n_2) => n1 = n2. Den är surjektiv eftersom för alla element i mängden 15N kan skrivas på formen 15k där k är ett naturligt tal. Alltså ger det 15n = 15k <=> n = k. Funktionen f: N -> 15N för f(n) = 15n är alltså surjektiv och injektiv och därför är mängderna lika mäktiga. Alltså är kardinaliteten för 15N också Aleph_0.

You lost me at hello. Jag fattar ingenting av dina uträkningar så jag nöjer mig med att Aleph_0 är det minsta.

Om man då följer det resonemanget, vilka oändliga tal är större än Aleph_0? Du behöver inte bevisa det matematiskt för det skulle jag ändå inte förstå men om du kan ta ett exempel skulle jag bli glad. Tack för ditt tålamod också

Mängderna N, Z och Q har samma kardinalitet. Medan man kan visa (genom att visa att det inte finns en bijektiv funktion från N till R) att R är mäktigare, alltså är det fler element i R än N.

Du behöver inte skämmas för att du inte förstår det, frågan är om någon fullt ut verkligen förstår det. Det har sagts att man aldrig riktigt kan förstå något matematiskt, utan att man bara lär sig acceptera att så är det.

Jag har för mig (men är inte helt 100%) på att man ville låsa upp Georg Cantor på mentalsjukhus för sina upptäcker om oändliga mängder. Och det är knappast något som inte varit utan diskussion bland matematiker...

Angående TS tankar om kvadrater och rektanglar så kan man identifiera varje kvadrat med hjälp av ett positivt reelt tal och varje rektangel med hjälp av två positiva reella tal. Kardinaliteten för de positiva reella talen bör vara samma som de reella talen (kallad c) och kardinaliteten för alla tvådimensionella vektorer som alltså definieras av två reella tal är också c. Så både mängden av alla kvadrater och mängden av alla rektanglar bör ha kardinaliteten c. Har inte superkoll på ämnet, så har jag fel så hoppas jag att någon kan rätta mig.

Cantor fick mycket mothugg från andra matematiker (med Kronecker i spetsen om jag inte missminner mig) som vägrade att acceptera mycket av den matematik om reella tal och oändliga mängder som han hade skapat. Han fick dock hjälp av den svenske matematikern Gösta Mittag-Leffler som lät honom publicera åtminstone någon artikel i sin tidskrift Acta Mathematica. Angående mentalsjukhus så vistades Cantor i perioder på mentalsjukhuset Halle Nervenklinik efter att ha brutit ihop på grund av allt för intensivt studerande av kontinuumhypotesen. Dessa vistelser brukade i allmänhet leda till att han skiftade fokus från kontinuumhypotesen till att försöka bevisa att Shakespeares verk egentligen skrevs av en annan herre som hette Francis Bacon, och när han tröttnade på det så började han arbeta med matematik igen och snöade återigen in på kontinuumhypotesen, hamnade på psyket och så gick det runt. Läste en ganska trevlig (om man bortser från lite religiös hokus-pokus-matematik som jag tyckte var rätt tråkig) populärvetenskaplig bok om Cantor i somras som heter Mystery of the Aleph och är skriven av Amir D. Aczel.