Taylors polynom

Min föreläsare påstod att så är fallet..

Ja. För alla som den konvergerar för, förutsatt att du har oändligt många termer ja. Till exempel Taylorpolynomet för ln(1+x) kring punkten x=0 (alltså McLaurin) kommer bara konvergera för -1 < x <= 1. Med ytterst långsam kring x = 1. Snabbast självklart kring x = 0. Till exempel en McLaurinutveckling för ln(1+x) konvergerar inte alls för x = 2. Det gäller ju att ln(1 + x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + x^5/5 ...

Bara för så kallade analytiska funktioner.

Till exempel finns det funktioner där alla derivator är 0 för någon punkt och då blir hela polynomet 0, trots att funktionen är definerad och deriverbar överallt samt skild från 0 en bit bort.