Taylors polynom

Läser nu kapitlet om Taylors polynom och jag håller nästan på att självmord. Inte nog med att linjeseringsmetoden duger så finns Taylorspolynom.
Nog tyckte med man att kvadreringsreglerna var något som man aldrig mer skulle använda i framtida studier så visade det sig tvärtom.

Så berätta för mig, vad är Taylors polynom bra till.
En kortfattad version.

Vad är det inte bra till? Taylor och Maclaurin använder man till allt möjligt.

Låt oss t.ex. anta att du har mattetenta och ska visa ett gränsvärde med styggt valda trigfunktioner i täljare och nämnare. Du har två alternativ:

1. Använd alla trigsamband du kan. Börja om. Svär. Bli förbannad. Ge upp?
2. Använd taylor's formel (ofta kring x=0 - s.k. Maclaurinutveckling), för att förvandla helvetet till polynom. Faktorisera och förkorta bort. Klart.

"Taylors polynom", eller en "Taylorutveckling" är väl bra på ungefär samma sätt som det du kallar "linjäriseringsmetoden", men den fördelen att förfarandet är mer exakt.

Om du har en (oftast) komplicerad funktion men bara är intresserad av hur denna uppför sig i ett litet intervall kring en viss punkt kan du utveckla funktionen i en Taylorserie kring den punkten. Beroende på vilken noggranhet du önskar kan du välja hur många termer i utvecklingen du vill ta med.

Antag att funktionen du önskar studera är f(x) = exp(x), d.v.s. f(x) = e^x.

Taylorutvecklingen kring exempelvis x = 0 blir då

f(x) = 1 + x + (x^2)/2 + (x^3)/3! + ..... + (x^n)/n!

Väljer du att endast använda de två första termerna, f(x) = 1 + x, har du linjäriserat problemet och du kan då uppskatta funktionen exp(x) med 1 + x (vilket är betydligt enklare) så länge du inte rör dig alltför långt bort ifrån x = 0.

För ökad noggrannhet kan du välja att ta med fler termer, f(x) = 1 + x + x^2/2, f(x) = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 etc... tar du med alla termer (d.v.s. oändligt många) har jag för mig att funktionen inte längre blir en uppskattning utan den blir exakt).


Ett annat exempel är att en funktion ibland är lättare att studera om man vet hur dess Taylorutveckling ser ut.

Antag att du har funktionen f(x) = sin(x) och du befinner dig kring x = 0. Utvecklar vi sin(x) i en serie får vi att

f(x) = sin(x) = x - (x^3)/3! + (x^5)/5! - .......

Eftersom x är mycket litet (vi befinner oss kring x = 0) kan vi skippa alla termer av typen x^3, x^5 etc eftersom dessa i princip försvinner. Kvar har vi då att sin(x) kan approximeras med f(x) = x nära 0, vilket kan vara väldigt användbart att veta ibland.

Jag köper detta , ska nog anstränga hjärnan imorgon och banka in skiten en gång för alla.

Hmm, har tenta nästa vecka.
Vad ska man tänka extra på när man räknar med Taylor polynom, som man kan kugga på en tenta?

Använder Calculus 6edition.

Man använder den väldigt ofta i fysiken när man vill ta hänsyn till små förluster i energi. Då approximerar man med en taylorutveckling och kan helt plötsligt faktiskt räkna på något som annars skulle vara analytiskt hopplöst.

Du kommer att ha nytta av det i flervariabel analysen också när du räknar på kovergens och divergens. Så där har du ytterliggare ett själ att lära dig det

Jag är lite tveksam till detta, är det någon som vet hur det ligger till egentligen? Blir Taylor poynomet exakt i alla punkter om man tar med oändligt många termer i utvecklingen?

Var ett tag sedan jag räknade med taylorpolynom sist, men jag tror man väljer en punkt och nära den stämmer det

För den som är intresserad dyker det även upp när man ska approximera prisförändringar av små ränteförändringar på t.ex. obligationer. Taylorutvecklingen ger ett hyfsat resultat då relationen mellan pris och yield är avtagande och konkavt mot origo.

(Med reservation för att jag fan alltid blandar ihop konkav och konvex!)

Bah, här har ni en bild: http://www.schaeffersresearch.com/im...convexity3.gif

Klockrena svar från båda herrarna ovan, lite taylorutveckling av jobbiga funktioner kan göra att du löser en integral på två minuter istället för ger upp efter en timme. Lönar sig att försöka förstå åtminstone vad de är bra för så kan du alltid gräva fram detaljerna i din gamla kursbok / formelsamling senare när behov uppkommer.

Det beror nog på vilken funktion det är. Man måste undersöka vilken konvergensradie som gäller. Är konvergensradien oändlig gäller utvecklingen (med undantag) för alla x förutsatt att man tar med tillräckligt många termer.

Exempelvis sin(x) och cos(x) har oändlig konvergensradie.

Har du matlab (och symbolic math toolbox) finns det ett verktyg "taylortool" (hittade det nyss) som är illustrativt.

Taylorutveckling är en grundsten till hela området numerisk analys, vilket är tillämpad matematik.