Min teori om skärningspunkt

Tänk er en kvadrat. I den placerar vi 4 stycken lika stora kvadrater så hela den stor kvadraten fylls upp. Den kvadraten längst upp kallar vi A, den till höger om den B, under A ligger C och till höger om C ligger D.

Det intressanta är att kolla på skärningspunkten. Nu ställer vi oss frågan ifall A nuddar sin diagonal, dvs D. Och ifall B nuddar sin diagonal C. Svaret på denna fråga är nej, eftersom ifall A nuddar D kan inte B och C nudda varandra och vice verca. Slutsatsen är att A nuddar inte D och B nuddar inte C.

Tänk er nu, hur ser egentligen skärningspunkten ut, där alla kvadrater (ABCD) ut? Eftersom diagonalerna inte nuddar varandra borde det leda till att det finns ett litet hål mellan dessa kvadrater, vilket betyder att det är omöjligt att dela upp en kvadrat i 4 mindre kvadrater.

Denna tankeställning fungerar lika bra med andra geometriska former, där det figurerar en skärningspunkt på mer än tre objekt.

Har gått och grubblat på detta i ett antal år . Hoppas få någon klarhet.

Kort svar: Nej, det behöver inte vara så att de antingen nuddar eller att det är en hålighet mellan. Varför skulle det behöva vara så?

Du antar här att två kvadraters sidor inte kan dela punkter? Vilket blir fel. Om två sidor inte kan dela punkter så man uppenbarligen inte prata om skärningspunkter mellan sidorna heller.

A:s nedre sida är samma punktmängd som C:s övre sida.
B:s nedre sida är samma punktmängd som D:s övre sida.

Tänk på det så här: du tar en kvadrat och delar den kvadraten i fyra lika stora kvadrater med två räta linjer som mäts i en punkt. Om kvadraten har arean 1 så kommer den sammanlagda arean av de mindre kvadraterna också att vara 1, eftersom en linje inte har någon area. Ett "hål" som bara är en punkt eller en linje har ingen area och därför försvinner ditt problem.

OK,
tack för svaret. Känner mej rätt korkad nu. Jag förstår det ni säger, har bara svårt att måla upp det i mitt huvud.

Jag har också lite svårt att förstå hur du menar. Som redan har sagts: om man delar en in kvadrat i fyra mindre kvadrater så har varje delkvadtrat sidor gemensam med två av de andra delkvadraterna. Mittpunkten i den stora kvadraten är gemensam för alla fyra delkvadraterna, och i denna punkt skär den stora kvadratens två diagonaler varandra.

Delkvadraterna är alltså inte disjunkta, dvs. det är inte så att de inte har några punkter gemensamma med någon av de andra delkvadraterna. Allt detta förutsätter att vi räknar en kvadrats sidor som en del av själva kvadraten: vi kallar det då en "sluten" kvadrat. Vi skulle också kunna tänka oss en "öppen" kvadrat, där man inte räknar sidorna som en del av kvadraten, utan bara räknar dess "inre" punkter. Om man har en öppen kvadrat och delar in den i fyra öppna delkvadrater, så täcker delkvadraterna inte helt upp den stora kvadraten, ty delkvadraternas sidor kommer inte med, trots att varje delkvadrat har två sidor som ligger inuti den stora kvadraten. I så fall får vi verkligen ett hål i mitten, där delkvadraternas sidor möts.

Din svårighet är kanske att du måste inse att en icke-tom punktmängd kan ha area noll. Men så är det: linjer och sträckor (som t.ex. sidor i kvadrater) har area noll. Därför blir blir summan av delkvadraternas areor lika med den stora kvadratens area, trots att delkvadraterna har sidor gemensamma.
Att linjer och sträckor måste ha area noll är klart, eftersom de inte har någon bredd.