Hur kommer man fram till E=mc^2?

Energin blir olika beroende på vilket inertialsystem du använder.
Är det det som är orsaken?
T.ex. kinetiska energin för en partikel är noll i vilosystemet men mv**2 / 2 i ett system som rör sig med hastigheten v i förhållande till vilosystemet

En liknande härledning finns i Landau & Lifshitz, "The classical theory of fields", fast de använder Lagrangianer.

I så fall hade "paradoxen" uppstått även i newtonsk mekanik. Det gör den inte.

Tips: Varför tror du att jag skrev det i den här tråden?

Ok, har du mer detaljer.

Finns en bra bok utan massa formler av den teoretiska fysikern Sören Holst.
Boken heter Rumtid
Isbn: 9789144001234
Boken är mycket bra tycker jag !

Sören har väldigt bra koll på relativitetsteori. Om han har skrivit en bok
håller den säkert högsta klass.

Låt oss räkna på det, dels icke-relativistiskt, dels relativistiskt.

Först preciserar vi situationen och inför beteckningar: Vi har en fjäder (med massan 0) och två kroppar, vardera med massan m. När vi sedan spänner fjädern tillförs en energimängd K. När denna frigörs får den de två kropparna att skjuta iväg åt varsitt håll med farten u (relativt en fjäder med farten 0). Låt oss sedan för enkelhets skull anta att vi ger fjädern och de två massorna farten v vinkelrätt mot fjäderns utsträckning. Slutligen släpper vi loss kraften i fjädern.


Icke-relativistiskt
Innan vi sätter fjädern och de två massorna i rörelse har vi totala energin K = 2 * mu²/2 = mu².

När det hela sedan är i rörelse och vi har släppt lös energin i fjädern kommer de två kropparna att ha farten v i systemets rörelseriktning, men också farten u vinkelrätt mot systemets rörelseriktning. Kropparnas totala farter blir därför √(v² + u²), så den totala energin blir 2 * m(v² + u²)/2 = 2 * mv²/2 + mu² = 2 * mv²/2 + K.

Ursprunget till termen 2 * mv²/2 känns igen som de två massornas rörelseenergi. Vi behövde ju tillföra denna energi för att sätta dem i rörelse.


Relativistiskt
Innan vi sätter fjädern och de två massorna i rörelse har vi totala energin K = 2 * mc²(1/√(1-u²/c²) - 1).

När det hela sedan är i rörelse och vi har släppt lös energin i fjädern kommer de två kropparna att ha farten v i systemets rörelseriktning, men också farten u√(1-v²/c²) vinkelrätt mot systemets rörelseriktning. Kropparnas totala farter blir därför √(v² + u²(1-v²/c²)) = √(u² + v² - u²v²/c²), så den totala energin blir
2 * mc²(1/√(1 - (u² + v² - u²v²/c²)/c²) - 1) =
2 * mc²(1/√((1 - u²/c²)(1 - v²/c²)) - 1) =
(2 * mc²/√(1 - u²/c²)) / √(1 - v²/c²) - 2 * mc² =
(K + 2 * mc²) / √(1 - v²/c²) - 2 * mc² =
K / √(1 - v²/c²) + 2 * mc²(1/√(1 - v²/c²) - 1)

Här kan vi tolka 2 * mc²(1/√(1 - v²/c²) - 1) som den energi vi tillförde för att sätta de två kropparna i rörelse, på samma sätt som vi hade en term 2 * mv²/2 i det icke-relativistiska fallet.

Fjäderns energi verkar dock ha ökat från K till K / √(1 - v²/c²). Varifrån kommer denna extra energi?

Ingen som kan förklara varför fjäderns energi har ökat när vi satt fjädern i rörelse?

Sitter ju här och väntar på att du skall rädda dagen..

Okej.

Man kan se att uttrycket K/√(1 - v²/c²) liknar uttrycket för "relativistisk massa", m/√(1 - v²/c²), och det är faktiskt vad det är.

När man spänner fjädern tillför man energi. Enligt E = mc² innebär detta att man tillför massa till fjädern. För att sedan sätta massa i rörelse måste man tillföra energi, rörelseenergi. Det är denna rörelseenergi hos fjäderenergin som vi sedan får ut som extra rörelseenergi hos kropparna.

Jag har inte hunnit kolla på beräkningarna du visade, men spontant så har jag en invändning/fråga. Om nu massan ökar när fjädern pressas ihop och det motsvarar en viss energimängd så borde väl den energin återgå från massa till "vanlig" energi när fjädern släpps lös. Dvs. energin borde bli lika. Man kan ju tycka att när man pressar ihop en fjäder så får den i huvudsak nån form av lägesenergi och ev. en massaökning. Summan av dessa borde bli samma när fjädern släpps lös. Det borde i alla fall finnas mindre lägesenergi som kan accelerera de tyngre vikterna. Äh, jag fattar inte riktigt det här.

Det finns en skillnad mellan när vi pressar ihop och när vi släpper lös. I det senare fallet har vi i mitt scenario givit den inspända energin en hastighet, varvid ytterligare energi har tillförts.