Snabbaste vägen

Nån som har tid, eller ork, att lösa det problemet åt mig. Hunden ska få tag i bollen på kortast tid. Hur ska den springa? Vore fint om det visades utförligt, steg för steg.

http://hundproblemet.istheshit.net/

Den springer snabbast på land så tänk dig pytagoras sats hypotenusan är hans strecka till vattnet, därefter raksträcka genom vattnet. s=v*t så har du tiden för du har sträcka och hastighet för båda fallen.

När jag räknar på det så tar det 12.500 sekunder att springa som du säger, men om han går i vattnet 5 meter tidigare i sidled, så får ja det till 12.269, alltså snabbare.

Problemet är alltså att hitta den punkt där hunden träffar vattnet. Kalla det horisontella avståndet från startpunkten till där den träffar vattnet för x. Ställ upp ett uttryck för den totala tiden som hunden springer som funktion av x. Derivera detta uttryck och sätt derivatan lika med noll (eftersom du söker en extrempunkt). Resten är ren algebra - lös ut x (kanske inte så lätt). Det kan underlätta om du inför beteckningar för de olika sträckorna, a, b, c osv.

Det är inte så konstigt att ignats metod inte ger den snabbaste vägen, den kortaste vägen är ju trots allt rakt mot bollen, utan att göra några svängar alls. Så det korrekta svaret borde ligga någonstans mellan den punkten och den som ignat föreslår.

Det här bör du egentligen ta i tråden avsedd för just denna typ av frågor som finns här: http://www.flashback.org/showthread.php?t=241299

Då det alltid är roligare att komma på svaret själv kan jag först tipsa dig om att rita upp bilden själv och ställa upp ett uttryck för hur lång den sammanlagda tiden det tar för hunden att ta sig till bollen beror på ett bestämt mått. (Du kommer alltså att använda Pythagoras sats för att få ut sträckor...)

Om du antar att hunden springer in i vattnet en punkt x meter från höger så kommer du att få de två följande sträckorna:

S(land)=SQRT(40^2+x^2)
S(vatten)=SQRT(25+(30-x)^2)

t=s/v ger dig totaltiden:

t(total)=S(land)/8+S(vatten)/4=(1/8)*SQRT(40^2+x^2)+(1/4)*SQRT(25+(30-x)^2)

Därefter bör du derivera detta uttryck för att hitta dess minimum. Sätt den deriverade funktionen till noll och lös ut x. Detta orkade jag inte göra (skulle inte klara det utan att friska upp mina deriveringskunskaper), så jag satte in ovanstående ekvation i excel och fick fram något hundratal värden på x och därmed t.

Rätt svar borde bli x=23,5m och t=12,2568 men då har jag bara provat i steg om 0.1 meter.

Nu när jag tänker efter lite så borde det nog gå att lösa rent geometriskt också, men det får jag fundera lite på.... alltid lättare när man har svaret

/C

Nja. Smartare är att skriva om derivatan som en trigonometrisk ekvation genom att nyttja lite trigonometri.

do it