Matte D uppgift - konisk behållare

Nja, nu var det inte riktigt så jag uttryckte mig. Hursomhelst så är min och BZQW:s lösningar rätt lika fast eftersom jag först senare funderade på vad frågan egentligen var så tänkte jag mig att räkna ut k först efteråt, vilket också funkar om jag inte tänkt helt fel. Men ta hans/hennes lösning istället, den är både mer elegant och heltäckande (tar hänsyn till allt på en gång).

Förbannat dåligt skriven uppgift för övrigt. Snart har vi tolkat varenda mening på olika sätt. Fast jag är NUMERA benägen att hålla med cashblow, tanken är nog att det är ett kaffefilter eller liknande.

Ahh.. ett kaffefilter.. det förklarar ju en del. Hur som helst så ska du då göra på samma sätt men med arean för mantelytan istället för vattenytan.

Nu bryter jag snart ihop. Era formler och uträkningar är säkert 100 % korrekta, men hur förklarar jag dem i ord för fröken?
Jag vet bara att det är så, inte varför

Tack för all hjälp i alla fall Puss på er!

Okej. Tack

Om vattnet ska läcka ut ur konen så kan konen inte vara intakt! Det måste förstås vara ett hål i den någonstans.

Det är ju naturligt att tro att hålet finns i spetsen, dvs att hålet erhållits genom att kapa spetsen.

Därmed är det inte längre en kon, utan en stympad kon! Ungefär som när har en mjukglass i våffelstrut, och biter av spetsen för att suga i sig glassen den vägen.

Om vi antar att hålets radie = r0, så är hålets area a (och därmed den lilla bortkapade konens bottenarea) = π(r0)². Mantelarean av denna lilla bortkapade kon är då A0=πr0(r0+√((r0)²+h²) )
Det som kvarstår är alltså en stympad kon, med hål i båda ändar. Det lilla hålet nertill med radie = r0, och den stora öppningen upptill med radie r.


Nästa fråga är vad som avses med markerad text ovan. Jag måste utgå från att det som avses med "hastighet" är vätskeflödet ut ur konen, dvs volym ut ur konen per tidsenhet.


Utloppshålets tvärsnittsarea kan väl på goda grunder kan anses vara konstant (det lilla hålet med radie r0 varierar väl inte i storlek??). Om vi antar att hålet har cirkulär geometri, så blir den utrinnande volymen vätska per tidsenhet = hålets area (enhet m²)*vätskans linjära utloppshastighet genom hålet (enhet m/s).
Med konstant hålstorlek, blir utflödande volym alltså proportionell mot vätskans utloppshastighet. I detta fall betraktar jag den utrinnande vätskevolymen som en cylinder, med tvärsnittsarea = a = π(r0)².

Arean av den stympade konen = A-A0 = πr(r+√(r²+h²) ) - πr0(r0+√((r0)²+h²) ). Detta är mantelarean av den stympade konen.

Glöm inte att meddela hur det gick.

Jag har nyss fått fysisk hjälp av två duktiga tjejer som läste NV i gymnasiet. De kan inte lösa uppgiften.

Vad jag skulle behöva är en förklaring av vad dV/dt uttrycker. En slags differentialfunktion väl?

... för hundan gubbar, jag håller på för fullt!



Såvitt jag kan tolka texten är den sökta arean ifråga mantelarean. Då söks A som funktion av h, dvs A(h). Och kom ihåg öppningen nertill.

Alltså: A(h) = A-A0 = πr(r+√(r²+h²) ) - πr0(r0+√((r0)²+h²) ).

Och som påpekat, x=radien r, y= höjden h. Således y=kx => h=kr <=> r=h/k <=> k=h/r. Konstanten k är alltså kvoten mellan konens höjd och radie, vilket per definition är konstant. Givetvis är k detsamma för den lilla spetskonen, dvs h0=kr0.

Sätt in r=h/k coh h0=kr0, vilket ger:
A(h) = A-A0 = πh(h/k+√((h/k)²+h²) )/k - πh0((h0/k)+√((h0/k)²+h²) )/k.

Detta ger A som funktion av höjden h (samt den lilla konens höjd h0).

Och då börjar vi närma oss.
"Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet"

Volymsökningen m.a.p. tiden ges av derivatan V´(t). Det som sökes är Volymsminskningen m.a.p. tiden, vilket är -V´(t).

Enligt texten ovan följer: -V´(t) = c•A(h), där c är proportionalitetskonstanten. Dvs ett tal oberoenda av både t och h, desutom är c troligen inte lika med noll.

Den första (dock oanvändbara) differentialekvationen blir således -V´(t) = cA(h).

Här ska vi använda kedjeregeln, något kalabaliken redan påpekat:

Alltså: -V´(t) = -V´(h)h´(t) = cA(h) => h´(t) = -cA(h)/V´(h)

Nu är då frågan vad vi ska dra för slutsats av det? Vi som skriver i tråden kanske har läst lite mer matte än gymnasiematte. Eller så är "två duktiga tjejer" snarare snygga än duktiga. Nä, nu ska jag inte vara sån. Jag fattar att man snabbt glömmer den här typen av matte om man inte har läst nån mer matte efter gymnasiet.

dV/dt är samma sak som V´(t), dvs tidsderivatan av volymen. Med andra ord samma sak som med vilken hastighet volymen förändras.

Såvitt jag kan se fås differentialekvationen:
-V´(t) = -V´(h)h´(t) = cA(h) => h´(t) = -cA(h)/V´(h)

Sätter vi in uttrycken för A(h) resp V(h) i detta uttrycket, fås i högerledet en läbbig funktion (en komplicerad kvot) vilken är en funktion av h. Beteckna denna f(h).

Då fås: h´(t) = -cA(h)/V´(h) = -cf(h). Observera att h är en funktion av t, dvs h = h(t).
Sätt för enkelhets skull konstanten m = -c. Då är denna en ekvation på typen separabla variabler, vilken kan skrivas:

h´(t) = mA(h)/V´(h) = mf(h) = mf(h(t)) =>
h´(t)/f(h(t)) = m

Integrera båda led m.a.p. t:

∫( h´(t)/f(h(t)) ) dt = m∫dt = mt + C

Om vi nu kan integrera vänsterledet, vilket är långt ifrån uppenbart, så fås (beteckna integralen i VL med F(h(t)):

F(h(t)) = ∫( h´(t)/f(h(t)) ) dt = mt + C

Och så invertera funktionen F(h).

Men nu orkar jag inte mer för idag. Återkommer imorgon.

Ärligt, detta är inte mänskligt. Ni är inte heller mänskliga för den delen.
Jag är bara människa.

Nu ger jag upp. Lösningen ska vara inne imorgon och jag tänker skriva som jag till en början tänkte: påfyllnadshastigheten = V(24) - V (23,4) + 100 kubik cm.

Det är ju tokfel, men en lösning (korrekt eller inkorrekt) måste lämnas in för att man ska få G i matte D. I mitt fall saknade jag ett VG-poäng för att få VG på Nationella provet, så det var meningen att den här uppgiften skulle kompensera den poängförlusten. Men ack, jag har verktygen men kan inte använda dem.

Tack ändå, ni är för bra!

Har jag nu väl börjat på fanskapet så ska jag i alla fall försöka räkna ut det. Men återkommer imorron.

Lätt var det i alla fall inte.