Hjälp med redovisningsuppg. MaD

Tjena, har som så många andra på detta forum en MaD-uppgift att ordna med innan veckan är över. Tänkte höja mitt betyg till ett VG, behöver dock lite hjälp från er erfarna matematiker:

Valde denna uppgift (finns i Matematik 3000):

Med jeep in i öknen. En jeep kan sammanlagt ta 200 liter bensin i tanken och i lösa dunkar. Jeepen kommer 2.5 km på 1 liter bensin.

Anta att du ska färdas 1000 km in i öken och att bränsle bara finns vid startpunkten och vid målet. Vill du klara färden måste du först placera ut bensin i depåer längs färdvägen. Hur mycket bränsle går det åt och var ska dunkarna placeras ut? Finn en lösning på problemet, gärna en som är "så bra som möjligt".

Började lösa, och efter lite multiplikation och division kom jag fram till att man kan komma halvvägs med en tank+dunk. Fann att efter denna punkt måste dunkar finnas utplacerade med 25 km mellanrum efter halva vägen (om vi förutsätter att en dunk rymmer 10 liter).

Problemet är att denna uträkning känns så otroligt MaA, har inte ens använt derivata, vilket jag fick för mig att "så bra som möjligt" syftade till. Hur skall jag göra för att fläka ut denna uppgift maximalt? Är det kanske meningen att man skall köra fram och tillbaka från "mål" för att placera ut dunkarna också?

-----------------------

Jag lade undan den uppgiften och började på en ny. Den lyder:

Mätstickan. Familjen Svensson har just köpt en villa. Under garaget finns en stor, liggande cylinderformad oljetank. Tyvärr har mätstickan kommit bort.

När Åke fyller tanken visar det5 sig att den rymmer precis 4m^3. Han tillverkar en ny mätsticka och finner att diametern är 1.20 m.

Hur mycket olja är det kvar när oljedjupet är 0.45 m?

Hur ska Åke gradera sin oljesticka?


Denna uppgift tänkte jag kunde ha mer av en MaD-relaterad lösning. Jag började fila på ett uttryck för en funktion. Tänkte mig att rita en graf som en halvcirkel (halva cylinderbottnen), sedan integrera den från där att grafen skär oljenivån och multiplicera det med höjden av cylindern.

Uttrycket blev: y=rot(r^2-x^2) där r=0.6

Låter detta heltokigt? Hur skall jag finna en graderingslösning? Har egna tankar men tar gärna emot andra uppslag.

Jag har faktiskt gjort den sista och klarat ut den (oljetankern).

Jag kan börja med att ge dig lite ledtrådar, så får du komma igen om du vill ha lösningen.
Problemet med uppgiften är ju att cylindern ligger ner och man kan inte tillämpa som om det vore en cylinder.

Det blir alltså en funktion som lyder såhär, där h = höjden och V = volymen V(h) = cirkelns area beroende av höjden * längden av tunnan.

Jag ger dig den första ledtråden.
http://en.wikipedia.org/wiki/Circular_segment

Tackar, det var bra att du räddade mig från en större tabbe där Ledtråden sade mig inte så mycket, så jag är tacksam för lite mer handgripliga tips eller lösningar!

Ahhh, matte D-redovisningar, det var länge sedan. Jag gjorde den där jeep-uppgiften och kom fram till något halvhyffsat svar. Sen visade det sig att det är en klassisk gåta och att det går att ta sig genom öknen med mycket mindre bensin än jag fick det till. Fast MVG fick jag ändå, men det berodde nog snarare på nationella provet...

Jag tycker det var en väldigt bra ledtråd. Tänk lite på hur volymen varierar. Om du delar in vätskevolymen i tunna skivor med sidan l (tankens längd) så varierar ju skivornas area efter förhållandet mellan tankens radie och höjden. Är höjden samma som radien så är det areasegmentet h*2r. Det du behöver hitta är således ett uttryck för sidarean och hitta hur den varierar map höjden.

usch vad korkad man känner sig! Förstår knappt någonting.. Är mer inne på jeepen nu igen.. Hur skall den lösas egentligen? Vet du hur man gör, Majava?

Tiden håller på att rinna ut, måste vara klart i helgen, ett annalkande kemiprov gör inte saken bättre..

Jag har kunnat jeepen, men jag har för mig att jag bara provade mig fram. Inte så matematiskt kanske... Finns någon snygg lösning på den på wikipedia men jag rekommenderar inte att du använder dig av den. Lärare brukar ha bra koll på sådant =). tanken är mycket lättare. Tänk dig att du delar in tanken i oändligt många segment. De har vardera arean tankens längd*en funktion som säger vad sidlängden är när höjden är h. När höjden är 0 är sidlängden 0. När höjden är r är sidlängden 2r. Hitta sambandet mellan höjden och sidlängden så har du löst hela uppgiften.

hmm, höjd och sidlängd?

Om detta är cylindern:

h
-____
(____) 2r


Måste jag då inte finna vattenmängden vid 0.45 m genom att räkna ut arean på kortsidan (på det segmentet som är vattenfyllt), för att sedan multiplicera den med långsidan h?

Funktionen du talar om, låter väl som y=2x, eller har jag missuppfattat? Skall det vara vattennivån som funktion av volymen, eller hur skall funktionen lämpligen vara utformad?

Tillägg:

Om jag vill få ut cirkelnsegmentet från 0.45 m genom A=0.5r^2 (v-sinv) måste jag få ut v på något vis, men hur? Mäta med gradskiva på mindre modell och sedan omvandla till radianer?

Jag förstår inte alls hur du menar nu faktiskt, men höjden blir inte samma som 2r, eftersom radien varierar med höjden.
Vet inte hur jag ska förklara det, men du måste hitta ett uttryck för vad cylinderns diameter är på just den punkt där höjden är h. Sen så sätter du h=0,45 och kan då med hjälp av en integral få ut vattenvolymen just då.

Känns som om vi använder två helt olika metoder för att tackla problemet. Vad jag försöker just nu är (om jag lyckas förklara):

Cylinderns bas kan ses som en cirkel. Denna bas multiplicerat med cylinderns höjd är lika med volymen. (4 m^3)

För att få ut basen för vattennivån 0.45 måste man få ut segmentet av cirkeln till höjden 0.45 (altså inte höjden av cylindern utan höjden av cirkeln/basen).

Förstår inte hur jag skall utgå när jag skall formulera en funktion, är mycket dålig på sådant, iallfall på en så här fri uppgift.


EDIT: Om en tydligare förklaring behövs kan jag fixa en bild på hur jag tänker.

Nu kommer den andra ledtråden.
Formeln för cirkelsegmentets area är klar. Den är beroende av R = radien och V = vinklen. Vad är då problemet? Jo, man ska få formeln oberoende vinkeln.
Hur skall detta gå till? Ett tips är att utnyttja Radien = h (cirkelsegmentets höjd) + d (triangelns höjd).

http://i17.tinypic.com/4xy5z42.gif