Flervariabel, integrationsområden..

Hejsan, har tenta i flervariabelsanalys om en vecka. Behärskar det mesta förutom en viktig sak. Detta är när jag ska tolka integrationsområden.

Det är inte speciellt svårt när det är x^2 + y`2 < 4.
Detta beskriver såklart en området innanför cirkeln med radien 2. Ellipsliknande områden är också lätta att tolka. Dock får jag stora problem i t.ex. detta exempel:

Beräkna trippelintegralen z dxdydz över området D som ges av olikheterna

x^2 + y^2 < z^2
x^2 + y^2 + z^2 < 1
z > 0

Hur vet jag hur integrationsgränserna blir? Kan någon förklara lite eller ge tips på hur man bör angripa dessa problem?

Ett annat ex:

En glasvas K har en form som beskrivs av olikheterna

x^2 + y^2 < z < 2 + 2/3(x^2 + y^2) , z > 0.

Hur vet jag att själva ytan består av två delar? Förstår inte riktigt.

Detta blir jobbigast när jag skall beräkna flödesintegraler:

Ex: Beräkna flödet ut ur området

K: x^2 + y^2 < z < 4

för fältet u = (x,y,3).

Sista ex:

Beräkna flödet av u = (....)

genom struten T given av z^2 = x^2 + y^2 , 0 < z < 1,

orienterad med utåtriktad normal.

Här förstår jag t.ex. inte varför ytan inte är en strut MED ett lock på toppen? Boken säger att vi måste lägga till locket så att Gauss' sats kan användas. Men då z = 1 har vi väl detta lock? Varför måste vi lägga till något?


Som sagt, det är själva integrationsområdena jag har väldigt svårt att tolka, det har inget att göra med själva integrationsberäkningarna. Skulle uppskatta om ni kunde ge mig lite tips på hur man bör tänka när man ritar upp området för sig själv.

Eftersom jag inte kan skriva "mindre än eller lika med"-tecken och "större än eller lika med"-tecken så skriver jag istället bara < resp. >

Nej, eftersom det står z=x^2 + y^2 och inte z >x^2 + y^2 så har du inte locket. Fixerar du z till z=1 så har du bara randen till locket. Exempelvis uppfyller inte mittpunkten på locket, z=1, x=0, y=0 dina villkor.

Okej, är med på det du säger.

Har du något tips på hur jag bör tänka när jag skall skissera ett område av tre variabler? Föreläsaren sade att det är lättast att sätta x,y eller z till noll och på så vis försöka rita. Hur relaterar då 2d-området jag ritar upp till 3d-området?

x^2 + y^2 + z^2 < 1 innebär att vi håller oss innanför sfären med radie 1 och centrum i origo.

z > 0 innebär att vi håller oss i övre halvrummet. Eftersom vi enligt föregående stycke är i en sfär blir det i övre halvsfären.

x^2 + y^2 < z^2 kan skrivas som √(x² + y²) < z, vilket innebär att vi håller oss innanför en kon i övre halvrummet.

Området blir en sfärisk kon som nog lämpligast parametriseras i sfäriska koordinater genom 0 < r < 1, 0 < φ < π/4, 0 < θ < 2π. (Beteckningar enligt länken.)

Jag vet inte om det finns något direkt tips som alltid fungerar. Om du sätter en variabel i taget till noll så skapar du ju en form av "ritningar" från olika vyer, om du förstår? Sätter du z till noll och ritar upp hur x-y varierar får du ju ett kort "ovanifrån", o.s.v. På så sätt kanske man kan gissa sig till hur det skall se ut.

Exempelvis, får du en cirkel på alla ritningar så har du en sfär i 3d. Får du en cirkel ovanifrån, och en triangel från sidan, så har du en kon etc. etc.

Jag är nog fel person att fråga, någon annan kanske har ett bättre svar?

Tack, låter som ett mycket bra tips. Känns som om jag allt för ofta fastnar just på detta vilket gör att uppgiften blir betydligt svårare än vad den ska vara.

Lär dig känna igen olika ytor som kan förekomma som begränsingsytor, t.ex. plan, sfär och kon. Sedan kan du lättare skissa upp och hitta området.

snabb fråga till:

antag att jag ska beräkna volymen av den kropp som begränsas av ytorna

z = roten ur(1-x^2-y^2)

z = roten ur(x^2 + y^2)

Under integrationen tar jag ju minus dem varandra för att få kroppen o sedan polära koordinater men:

hur vet jag vilken jag ska ta minus vilken?

Ta den största minus den minsta. Vilken ligger högst upp i z-led?