När används ”Jesu” respektive ”Jesus”? Och hur kommer det sig?

Hur kommer det sig att man ser denna form så ofta. "Jesu lidande", "Jesu död" osv. Borde det inte heta "Jesus lidande"?

Det är en vedertagen genitiv som i dag kan uppfattas arkaisk, och därför numer ofta ges svensk form Jesus' (utan apostrof tyvärr). Frågan kunde också varit "Borde det inte heta Jesi lidande?", med svar att denne är ett undantag av tradition:
Detta undantag har sedan fått hänga kvar i svenskan, med diverse sällskap av dignitet. Jämför Vad Gudi täckes, är mig täckt (med Gud i brallan) & majestätsplural (pluralis maiestatis).

en sak jag alltid undrat: är det hädiskt att skriva Jesus lidande?

Pastorn: Nej.
Lektorn: Ja.

Nog låter Jesu liv, lidande osv bättre än Jesus' liv eller lidande

Vad är reglerna för genitiv och vokativ? Jesus är ju en latiniserad form av ett grekiskt namn och i de språken beror avsluten us/os på hur meningen byggs.

På grekiska säger man
Kyrie Iesou Christe, Yie tou Theou, Eleison me ton amartolon

På latin säger man
Domine Iesu Christe, Fili Dei, miserere mei, peccatoris

På modern svenska säger man
Herre Jesus Kristus, Guds Son, förbarma dig över mig, syndare.

Är det språkligt korrekt att säga:
Herre Jesu Kriste, Guds Son, förbarma dig över mig, syndaren!

Wikipedia: I svenskan kan vokativ idag hittas i till exempel psalmer (Du bar ditt kors, o Jesu mild, O Kriste, oss benåda samt O Kriste, du som ljuset är[1]). http://sv.m.wikipedia.org/wiki/Vokativ

Utifrån allmän språkkänsla, och utan någon värdering av budskapet som sådant:

Herre Jesus Kristus, Guds Son, förbarma dig över mig [en] syndare!
— utan kommatecken efter »mig«¹

I medvetet arkaiserande stil:

Herre Jesu Kriste, Guds Son, förbarma dig över mig [en] syndare!

¹ Fotnot: Om man har en mikropaus före »syndare« så ökar man räckvidden bakåt i meningen. Det blir direkt fel budskap, antar jag. Obestämd artikel är frivillig, språkligt sett, men förklarar varför man inte har syndare i bestämd form.

Ref. http://ortodoxakyrkan.org/dagliga-boner/ — Jesusbönen 4/5 ner

"Herre Jesus Kristus, Guds son, förbarma dig över mig" skriver NE (angående Jesusbönen).

"Herre Jesu Kriste vår Gud, förbarma Dig över oss" skriver ortodoxa kyrkan på flera ställen.

Det första är modern svenska, det andra är inte det.

Iesus

Christus

Som synes är Jesus ett specialfall av 4 deklinationen, medan Kristus är ett vanligt maskulint namn av 2 deklinationen. Facile.

Nja, det andra är svenska med latinska lånord böjda enligt latinska regler, om man ska vara petig. Måste inte vara äldre svenska, men mindre brukligt idag, absolut.

Den bestämda formen syndaren blir väldigt konstig. Jag vill bara ha syndare där. (Med bestämd form låter det som om det bara skulle finnas en syndare totalt - Hej, Gud! Det är jag - syndaren!, typ. En helt artikelfri form ansluter ju bra till uttryck som Jag fattig syndig människa...) Annars är det ett gammaldags uttryckssätt som jag själv tycker låter i sig fullt rimligt, men som internt i Svenska kyrkan förmodligen kan få en del folk att undra om du är anhängare av Svenska Kyrkans fria synod eller något annat lika kyrkopolitiskt inkorrekt.

Dagens Svenska Kyrka är ju närmast paniskt rädd för formuleringar som verkar arkaiska, och förefaller övertygad om hela det senaste seklets sekularisering har åstadkommits uteslutande genom att kyrkan har skrämt bort potentiella troende med gammaldags språk.

Grekiska lånord böjda enligt latinska regler, om man ska vara ännu petigare. Men din poäng är viktig. Det är inte svenskan i sig som är ålderdomlig, utan det är snarast en parallell till att använda pluralformer som examina, pronomina, kommata eller schemata.