Ställ era frågor om kvantmekanik

...visa detta rent matematiskt? Är väldigt nyfiken på de formella detaljerna.

Hilbert rummet av de fysikaliska tillstånden beskrivs som en kvot av
det det rum man får utan att bry sig om tvången, X, och
det delrum med tillstånd med normen noll, G.
H = X/G
Man dividerar ut helt enkelt redundansen i beskrivningen X på ett annant sätt en att direkt lösa ut de oberoende variablerna från tvången.
Kanske inte var så matemetiskt

Vill inte störa era komplicerade diskussioner nu, men jag har letat runt lite utan resultat och undrar vad jag bör söka på för ord om jag vill hitta information om hur olika symmetrier är ihopbundna till obestämbarheten av egenskaperna inom kvantmekaniken? (t.ex. tranlationssymmetri och rörelsemängd osv.)

Har för mig att det var en kvinnlig matematiker/fysiker som la grunden till denna upptäckt men kan inte komma på hennes namn. Någon som vet vad jag är ute efter?

Är väl Emmy Noether du tänker på ?

Emmy Noether

Här var det snabba svar
Visst fan var det hon, tackar.

EDIT: bevarad storhet var det visst, inte obestämbara storheter.

Nytt intressant ämne, ny fråga.

Oavsett vilken temperatur metaller har så har de ingående elektronerna en väldigt hög energinivå då de med samma spinn enligt pauliprincipen inte kan erhålla samma hastighet.

Hur lite kan det då skilja mellan varje elektron i hastighet/energinivå (om de har samma spinn)?
Eller har man ens någon minimumhastighet som en elektron måste skilja sig med för att inte klassas som samma tillstånd?

Mina spekulationer:

1. Kanske är det en felaktig fråga då varje elektrons rörselsmängd är till en vissdel obesämd och svaret troligen inte går att få någon klarhet i.

2. Svaret är något i likhet med 1plancklängd/plancktid (vilket låter lite väl litet eller?) då naturen inte borde utgå ifrån vårat metersystem.

Jag tror jag avfärdar min första spekulation då det bör vara ganska lätt att beräkna svaret om man vet fermiradien samt tillståndstätheten, eller?

Kort svar: energin behöver inte skilja sig alls för att Pauliprincipen ska vara uppfylld.


Långt svar:

Låt oss arbeta i den approximation som kallas fria elektronmodellen. Här ignorerar vid elektroneras växelverkan med jonerna och med varandra. Vi kan då tänka oss en kristall som en låda med dimensionerna Lx, Ly och Lz. Schrödingerekvationen för en fri partikel inuti lådan har lösningar

ψ(r) ~ exp(ik*r).

Ansätt periodiska randvillkor ψ(r+Lx*x) = ψ(r+Ly*y) = ψ(r+Lz*z) = ψ(r). Insättning ger nu

k = 2π(nx/Lx, ny/Ly, np/Lz)

där nx, ny, nz är heltal. De möjliga lösningarna indexeras (särskiljs) alltså av kvanttalen k som bildar ett gitter i det reciproka rummet. Från Schrödingerekvationen får vi också direkt att energin är

ε(k) = hbar²k² / (2m).

Antag nu att vi har N elektroner. I varje k-punkt kan vi stoppa två elektroner för att Pauliprincipen ska vara uppfylld, en med spinn upp och en med spinn ned. Vid T = 0 K ska vi alltså minimera totala energin som då ges av summan av de N/2 lägsta energitillstånden. Eftersom ε(k) är sfäriskt symmetrisk (endast beror av k) så kommer de fyllda tillstånden att bilda en sfär - Fermisfären.

Vad är radien i denna sfär? Vi kan notera att

antal elektroner = (elektroner per k-punkt) x (k-punkter per volym i reciproka rummet) x (relevant reciprok volym).

Antal elektroner är N, antal elektroner per k-punkt är 2, k-punkter per volym i reciproka rummet måste vara 1 / ((2π/Lx)*(2π/Ly)*(2π/Lz)) = Lx*Ly*Lz / (2π)³ = V / (2π)³, och den relevanta volymen är en sfär med radien kF, 4πkF³/3. Vi får alltså

N = 2*V / (2π)³*4πkF³ / 3

vilket ger

kF = (3π²n)^⅓

där n = N / V är elektrontätheten i materialet.

Det första du kan notera är att elektroner mycket väl kan ha samma energi i modellen, det kallas degeneracitet (degeneracy). Det Pauliprincipen säger är att vi inte kan ha två elektroner i samma tillstånd, men det betyder inte att tillstånden har samma energi. Formellt är tillståndet definierat av vågvektorns tre komponenter och spinnriktningen. Exempelvis har, i vår modell, elektroner med vågvektor k samma energi både för spinn upp och för spinn ned. För hastigheten gäller dock att den definieras av att en elektrons rörelsemängd är hbar*k = mv, så att v = hbar*k/m. I den meningen är alltså hastigheterna för elektroner helt unika, men farten är däremot degenererad precis som energin.

Jag startade faktiskt tre trådar om elektroner i metaller. Båda med synnerligen låg besöksfrekvens.

Vad är en metall [del 1]
Vad är en metall [del 2]
Vad är en metall [del 3]

Vi kan inte säga så mycket om varje elektron, eftersom de är delokaliserade (utsmetade över stora sträckor), men däremot kan vi vara specifika angående olika elektrontillstånd. Just det faktum att de är delokaliserade gör ju att Heisenbergs osäkerhetsrelation tillåter oss att bestämma rörelsemängden väldigt exakt. I de flesta modeller (inte i nanofysik) antar man att kristallen kan ses som oändlig och elektronerna blir då helt lokaliserade vilket ger en exakt definierad rörelsemängd.

Har inte läst allt men det låter som ett jäkligt intressant ämne!
Tack så mkt, ska plöja igenom allt imorrn för hoppningsvis, så då kanske det kommer lite fler frågor

Hej, jag tror detta hör hit.
Det fanns ett problem i nått illvet nummer för ett tag sen. Om en katt stängs in i en låda tillsammans med ett gift som dödar katter 50% av gångerna, då (enligt kvantfysiken tror jag) är katten både död och levande på samma gång så länge man inte kikar.

Är det bara en massa flumm eller känner någon igen detta?