Ställ era frågor om kvantmekanik

Dina formler är fel, dessa är de rätta:

(Δx)^2 = <x²> - <x>²
(Δp)^2 = <p²> - <p>²

Dimensionerna på Δx torde vara [L] då det är ett mått på osäkerhet i längd, inte [L^2] som du skrivit.

Fan då, reagerade faktiskt på att Δx borde ha varit [L] men kunde inte se att jag skulle ha gjort fel någonstans. Tack! Insåg dessutom att jag räknade fel på mitt sätt; (n+1/2)-termen borde ha varit i kvadrat. Hur ska jag förhålla mig till 2:an som uppstår i min uträkning dock?

Δx = sqrt(<x²> - <x>²) = sqrt(h/mw(n+1/2))
Δp =sqrt(<p²> - <p>²) = sqrt(2m*hw(n+1/2))
ΔxΔp = sqrt((h/mw)(2mhw))(n+1/2) = sqrt(2h²)(1/2+n) = sqrt(2)h(n+1/2)

Det som kännetecknar den harmoniska oscillatorn är att <V>=<T>=E_n/2 där E_n är energin för egentillståndet med kvanttalet n, men det verkar inte vara det i dina räkningar. Kolla upp de väntevärdena så att du fått dem rätt.

För övrigt så tror jag att man räknar ut dem från väntevärdena
<x^2> och <p_x^2>, vilka man får genom att lösa integralerna (det går i alla fall att göra i grundtillståndet).

En hamiltonian ges av H = wS_z, w konstant. En spinn-1-partikel är i tillståndet psi = A(1 ; 2 ; 3) där parentesen ska symbolisera en kolonnmatris. Vilka möjliga energier kan man uppmäta och med vilken sannolikhet? Normering ger ett val av A = 1/sqrt(1^2 + 2^2 + 3^3) = 1/sqrt(14). Således finns det tre tillstånd, med sannolikheterna (1/sqrt(14))^2, (2/sqrt(14))^2 och (3/sqrt(14))^2.

Vid mätning av energin kan alltså: H|psi> = E_n|psi> egenvärdena E_n uppmätas. Vet att egenvektorer |s m> till S_z löser S_z|s m> = hm|s m> där s =1 är spinn och m=-s. Men hur blir motsvarigheten i detta fall? Kan inte se hur jag ska kunna bilda tre fall av detta?
H|psi> = w(S_z|psi>) = w(-h)|psi> vilket alltså endast skulle ge E_n = -hw

Facit skriver E_0 = 0, E_(+-1) = +- hw

Jag har nyligen upptäckt "A Delayed Choice Quantum Eraser" av Kim et al. genom populär"vetenskapliga" videor och ställer mig undrande till de tolkningar som detta, och liknande, test verkar ha gett upphov till. Jag har inte någon vidare insikt i kvantmekanik mer än det jag lärt mig de senaste dagarna.
En beskrivning av experimentuppställningen finns i pdf-en ovan och i en enkel form här. I experimentuppställningen skickas fotoner en och en genom en dubbelspalt och in i en kristall som delar upp dessa i två intrasslade fotoner varv en går mot en detektor D0 och den andra slumpmässigt leds till antingen en sensor som kan avgöra vilken spalt fotonen kom in genom (detektorer D3,D4) eller till ett "kvantsudd" i form av en halvsilverspegel och två detektorer D1 och D2 vilket obfuskerar informationen om vilken av spalterna fotonen kom genom.


Istället för att prata om "obfuskering av vilken-väg-information" genom att använda halvsilverspegeln innan D1,D2 så tycker jag att det känns intiutivt uppenbart att D1 och D2 borde se ett interferensmönster eftersom att dessa detektorer ju kan "se" båda spalterna. D1 och D2 har optisk förbindelse med båda spalterna.
Detektor D3 (och D4 om den hade använts) har ju endast optisk förbindelse med den ena av spalterna, varför det inte bör vara förvånande att fotonerna som träffar D3 inte visar upp ett interferensmönster. So far so good: detta är väl också hela poängen med just denna uppställning.
Då har vi kvar den där detektor D0 som registrerat en foton ur varje intrasslat fotonpar som passerat utrustningen. Datapunkterna från denna har efter genomförandet korrelerats mot datapunkterna från D1, D2 och D3 respektive. Detta har kunnat göras genom ordningen i vilken detektionerna har gjorts och tidsfördröjningar dem emellan. Härigenom är det möjligt att filtrera ut alla träffar i "träffbilden" hos D0 vilkas "parfotoner" har registrerats av de respektive detektorerna D1,D2,D3. Eftersom att träffarna har registrerats vid D0 före det att parfotonens väg ens har utstakats (havsilverspeglarna har nåtts) menar man att det är "underligt" att den parfoton som gått till D0 "vet" om den ska uppvisa interferens eller inte.

Det jag tänker är att interferensmönstret som ses bland data korrelerad D0D1 resp. D0D2 kommer av att D1 resp. D2 var för sig har "sett" båda spalterna samtidigt. Eftersom att D3 och D4 tillsammans sett båda spalterna undrar jag vilket mönster man skulle se om D0D3 och D0D4 överlagrades. Eftersom att detektorerna D3,D4 var för sig endast "sett" en spalt vid registreringsögonblicket så antar jag att interferensmönstret skulle utebli. Om man istället skulle sammanföra de optiska vägarna som leder till D3 resp. D4 före detektering så bör ju interferensmönstret uppträda så som det gör hos D1,D2.

Vad skulle hända om man, som i experimentet ovan, producerade två intrasslade fotoner. Av dessa läts en detekteras av D0 och den andra läts gå mot en annan detektor D5 vilken kunde "se" båda spalterna. På vägen till D5 - innan fotonen nått detektorn, men efter att parfotonen nått D0 - skärmades den ena av spalterna av. Vilket mönster skulle då uppträda? Skulle det vara likadant om skärmen applicerades mellan D5 och parfotonen (och på så sätt stoppade upp alla fotoner som passerat genom den ena av spalterna) som mellan spalten och parfotonen? Skulle resultatet bli det samma om skärmen alltid applicerades (förutbestämt) eller om den slumpmässigt applicerades?

Säg att man har en given normaliserad vågfunktion för t=0 för en fri partikel i en 1-dimensionell låda (H=-ħ²/2m*d²/dx²) och man har dessutom beräknat väntevärdet för energin för denna partikel. Då Hamiltonianen inte beror explicit på tid, kommer väntevärdet för energin vara densamma oberoende av t?

Jag tänker att om man har Ψ(x,0) = ψ(x) given kan man hitta hur vågfunktionen utvecklas med tiden genom Ψ(x,t) = e^(-iHt/ħ)ψ(x). Medelenergin för t=0 är ju då <H> = -ħ²/2m∫(ψ(x)*d²ψ/dx²)dx. Om man nu utför liknande beräkning för Ψ(x,t), bör man bara inte få

<H>_t = -ħ²/2m∫ [e^(-iEt/ħ)e^(+iEt/ħ)] ψ(x)*d²ψ/dx²dx = -ħ²/2m∫(ψ(x)*d²ψ/dx²)dx = <H>

eftersom exponentialerna tar ut varandra? Man skulle säkert också kunna använda energi-operatorn direkt istället för att uttrycka H i termer av rörelsemängds-operatorn, men detta ger väl ingen intressant information då man får svaret i termer av E? (Notera att * inte innebär multiplikation utan det komplexa konjugatet)

Har jag tänkt rätt eller är jag helt ute o cyklar?

Du kan resonera som du gör. (Fast om inte ψ(x) är en egenfunktion till H så har du ju inte bara en energi E, det blir flera att summera över...)

Men slutsatsen är korrekt. Energin är bevarad, och det även om du har en komplicerad rumsberoende (men tidsoberoende!) potential i H. Varje storhet som kommuterar med H ger ett tidsoberoende väntevärde, H kommuterar förstås med sig själv.

Ok, tack för svaret. Jag tar då detta som att sannolikhetsfördelningen |Ψ(x,t)|² (eller helt enkelt sannolikheten att hitta partikeln i en specifik punkt) också är tidsoberoende(?).

Nej! För positionsoperatorn x kommuterar inte med H.

Hm..

Ok, säg att man har en fri partikel med samma H och med en enkel normaliserad vågfunktion ψ(x) = sqrt(2/π)sinx och Ψ(x,t) = e^(iHt/ħ)ψ(x), (0<x<π). Hur bör man då gå tillväga om man vill hitta sannolikheten att partikel befinner sig i 0<x<π/2 vid någon godtycklig tidspunkt? I det tidsoberoende fallet integrerar man väl bara |ψ(x)|² över det intervallet (om man antar att vågfunktionen är 0 utanför lådan)? Osäker på tidsberoende fallet..

bump : )

Först: Du har väldigt många rätt. Men ska jag förklara det här måste jag nog ändå ta upp en del sånt du redan kan.

Sannolikhetstätheten ges alltid av |Ψ(x,t)|². Men vad är Ψ(x,t)? Här är du inne på rätt spår, men vi tar det från början, från den tidsberoende Schrödingerekvationen:
i ħ ∂Ψ/∂t = H Ψ ......................................... (1)
där H är hamiltonoperatorn (t ex den du har angivet, men den kan också ha med extra term +V(x)).
För att lösa denna löser man först den tidsoberoende Schrödingerekvationen
E ψ = H ψ .................................................. (2)
I denna ekvation är ψ = ψ(x) en egenfunktion till H och E motsvarande egenvärde (detta fungerar i princip på precis samma sätt som egenvärdesproblem för matriser). Notera att det finns många olika såna lösningar ψj, var och en med olika Ej. Givet EN sådan lösning ges den tidsberoende lösningen av
Ψ(x,t) = e^( -i E t/ħ ) ψ(x) .........................(3)
MEN detta är alltså en väldigt speciell sorts lösning som bara gäller just när den tidsoberoende delen är en egenfunktion till H!

Nu råkar du ha valt ett Ψ(x,0) som är en egenfunktion till H, och därför funkar allt du har sagt för just det speciella fallet. Men hur gör man i allmänhet, om man vid t=0 har ett Ψ(x,0) som inte är en egenfunktion till H?

Nu kan man visa att dessa egenfunktioner är ortogonala med varandra (H är en hermitsk operator). Dvs givet två olika lösningar ψj och ψk (med olika egenvärden Ej och Ek) så är skalärprodukten
< ψj, ψk > = ∫ ψj* ψk dx = 0 ..................... (4)
Dessutom bildar alla ψj en komplett bas i rummet av alla tänkbara initiala vågfunktioner Ψ0 = Ψ(x,0). Detta är nyckeln! För om vi bara först ser till att normera alla ψj så kan vi alltid utveckla
Ψ(x,0) = ∑ aj ψj(x) ................................... (5)
där
aj = < ψj, Ψ0 > = ∫ ψj(x)* Ψ(x,0) dx .......... (6)
Det vi har gjort här är att dela upp Ψ(x,0) i komposanter, där varje komposant ψj är en egenfunktion till H. Eftersom detta är ett linjärt problem så ges den totala tidsutvecklingen av tidsutvecklingen för varje komposant! Dvs lösningen ges av
Ψ(x,t) = ∑ aj e^(-i Ej t/ħ) ψj(x) ................. (7)

Så vad händer nu då med |Ψ(x,t)|² = Ψ(x,t)* Ψ(x,t)?

Det som händer är att man förutom tidsoberoende termer ψj(x)* ψj(x), även får korstermer av typen
aj* ak ψj(x)* ψk(x) e^( i (Ej-Ek) t/ħ ) ...... (8)
som är tidsberoende! Efter summering över j och k blir det reellt. Om t ex alla aj ψj är reella (som här!) kan det skrivas om som en summa av
aj ak ψj ψk cos( (Ej-Ek) t/ħ ) ................. (9)
över alla j och k.

----

Varför blir det tidsberoende lösningar trots att Hamiltonoperatorn är tidsoberoende? Detta är inte konstigare än i Newtonsk fysik. T ex den allmänna tyngdlagen har inte heller något explicit tidsberoende. Ändå blir det tidsberoende lösningar för t ex planeters rörelser.