Ideala gaslagen - alternativ form

Intressant avdelning det här, har ett problem jag tänkte be om hjälp med:

Ideala gaslagen på formen

P V = n R T

har väl de flesta sett. En annan mindre vanlig form av den är

P = ( γ - 1 ) ρ e

där γ är adiabatisk konstant, ρ densitetn och e inre energin. Finns info om denna på exempelvis wikipedia


Min fundering är hur man kommer fram till den senare, kanske genom att utgå från den förstnämda, eller på annat sätt?? Finns massor av resonemang kring den vanliga formen, men har inte hittat något om den senare.

Jag förutsätter att e inte är inre energin utan inre energin mer massenhet e = E/m.

Skriv ideala gaslagen som

p = NkT / V = (N / V)kT = (mN / V)(KT / m) = ρ(2 / f)(f / 2)(kT / m) = ρ (1+2/f -1)e = ρ((f / 2 + 1)/(f / 2) - 1)e = ρ(γ - 1)e.

Vi har använt att fria energin är

E = (f / 2)kT

där f är antalet frihetsgrader för molekylerna, samt att den adiabatiska konstanten är

γ = Cp / Cv = (f / 2 + 1) / (f / 2) = 1 + 2 / f.

Precis, blir lite konstiga dimensioner på trycket annars. Var lite otydlig där, har vant mig vid att man i texten jag läst alltid menar E/m när man pratar om inre energin.

Fria energin E = (f / 2)kT känns bekant. Ska kika upp lite i min termodynamikbok om Cp och Cv och deras relation till f men är med på alla steg du gör. Tack så mycket evolute!

Edit: Du skriver om (mN / V) till ρ. Beror det på att uttrycket beskriver densiteten som massan av N partiklar dividerat med volymen som de N partiklarna tar upp? Även om dimensionsanalys ger att (mN/V)=ρ precis som m/V=ρ känns det inte riktigt bekvämt.

Jag var lite oklar själv. Den fria energin ges per partikel (annars skulle vi haft en faktorn N också) och därmed delas den med massan per partikel m för att ge fria energin per massenhet hos systemet. Densiteten blir då massan per partikel gånger antalet partiklar delat med totala volymen.