Egenvärde samt egenvektor

Inom linalgen mötter man begreppet egenvärde samt egenvektor

Det är ganska lätt att bestäma egenvärdena, samt att sedan sätta in dem i det karateristiska polynomer och därmed få egenvektorerna (Tror jag, var länge sedan jag lästa kursen) men vad är det för något egentligen? har stött på dem i processreglering där man ser att egenvärdena dycker upp i exponentialltermen samt att matlabs ode lösare använder dem. Finns det någon geometrisk definition? Vad beskriver de egentligen?

?
En matris A har egenvärdena lamda och egenvektorn X då
AX = lamda X. En matematisk definition

Som du kanske minns (och nämts ovan) Ax=lambda x. Egenvektorn x roteras alltså inte under transformationen Ax. Den ändrar bara magnitud, eller speglas (byter riktning) om lambda<0... vilket iofs kan ses som en 180 gradig rotation.

Sen i kontroll/regler-sammanhang brukar väl egenvärdena/vektorerna, egenvärdenas tecken +/-, svara mot stabila eller instabila lägen (beroende på applikationen/modelleringen).

Då hamnar man snabbt under kapitlen Bode- resp Nyquist-diagram. Vilka i sin tur baseras på analys i en komplex variabel.

Tycker att hållfen har ett av de påtagligaste tillämpningarna där egenvektorerna till en godtycklig späning är basvektorer i ett koordinatsystem där skjuvspänningarna är noll samt egenvärdena är drag/tryckspänningarna.

Samma sak gäller för töjningar och om materialet är isotropt gäller båda samtidigt. För stora deformationer är det dock tvetydigt vad man menar med töjning och spänning.

Ett annat exempel på egenvektorer:

I kvantmekaniken är varje observabel a (något man kan mäta) associerad med en matematisk operator â. För observabeln existerar s.k. egentillstånd |a> där vi har

â |a> = a |a>

och effekten av operatorn på ett egentillstånd alltså bara är att ge en konstant, a - egenvärdet, gånger tillståndet |a>. Här har vi använt Diracs bra-ket notation och använt egenvärdet a för att "indexera" tillståndet. Exempelvis kan vi titta på z-komponenten av spinnet för en elektron som har två möjliga värden 1/2 och -1/2 (struntar i lite konstanter). De möjliga egentillstånden kan då skrivas, i vektornotation, (1 0) och (0 1). Operatorn Sz för spinnet kan representeras som en matris

(1/2 0 )
( 0 -1/2)

Vi ser nu att om vi befinner oss i egentillståndet (1 0) så får man genom matrismultiplikation vektorn (1/2 0) = 1/2(1 0) så att egenvärdet är a = 1/2. Ett allmänt tillstånd för z-komponenten av spinnet kan skrivas b = c1*(1 0) + c2*(0 1) där c1 och c2 är komplexa konstanter. Du kan alltid utveckla ett godtyckligt tillstånd i en summa av egentillstånd. Problemet att hitta bra egentillstånd som är samtidiga egentillstånd till flera observabler är ett centralt problem inom tillämpad kvantmekanik. Exempelvis är Heisenbergs kända osäkerhetsprincip ett resultat av att de två observablerna (oftast position och rörelsemängd) inte har en gemensam uppsättning egentillstånd - de kommuterar inte. För exempelvis spinnets kvadratiska magnitud med operatorn S² och spinnets z-komponent Sz existerar en gemensam mängd egentillstånd (de vi visade ovan) och därför kommuterar de och man kan mäta S² och Sz samtidigt till godtyckligt hög noggrannhet. Däremot kan du inte mäta spinnets x-komponent och dess z-komponent samtidigt - dessa kommuterar inte - och du har därför en osäkerhetsrelationen mellan dessa.

I nästan all högre fysik så talar man om egenvärden och egentillstånd eftersom man oftast skriver om ett allmänt tillstånd som en summa över ortogonala tillstånd (vektorer) för att lättare kunna analysera dess energispektrum. Elektroner i en metall behandlas på detta sätt, vibrationstillstånden i ex. en sträng, och en mängd andra fenomen.

de är lite magiska helt enkelt.

Lets never speak of those again

Gyllene regel är väl.. Om positiva egenvärden är bra, så är negativa skit.. och tvärtom.... skål