0,99.. = 1?

Inte alla men många. varje tal som avslutas med en oändlig följd av 9or är samma som talet "ovan". 0.0112999... = 0.0113000..., 2.999... = 3 osv osv.

Alla tal är inte såhär dock. tex mellan 1 och 3 finns talet 2. Så du kan inte säga att "alla" tal är lika då det finns uppenbara motexempel. Jag tror dock att du tänker att om 1 = 0.999... så kommer 0.999.... = 0.999....998 osv osv men då gör du om felet med att låta den oändliga decimalföljden få ett slut vilket är en motsägelse i sig.

Nej det är inte alls det han säger. Det här missförståndet har ingenting med decimaler att göra.

Infinitesimaler har inte så mycket att göra med reella tal, där pratar man snarare om gränsvärden.

Ja du har rätt ser jag nu. Missade delen om infinitesimaler i hans post. Skyller på förmiddagsblindhet.

Men definitionen, från Wikipedia visserligen, säger ju om de reella talen:

De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen.

Någon annan sa att om det inte finns något reellt tal emellan, vilket jag tolkar som att det inte finns något glapp, är det samma tal; jmf 0,999... och 1.
Om det inte finns några glapp mellan alla de reella talen så borde de då vara samma tal. Allihopa.
Var ligger felet i detta resonemang?

/VV

Med att det inte finns något glapp menar man att det inte finns några följder som man anser ska konvergera som inte konvergerar. Säg att man tar bort talet 0 då finns det ett glapp för följden 1/n borde gå mot 0 när n går mot oändligheten.

Därav inte löjligt som du påstod, eftersom summorna skiljer sig åt.

Felet är att något som är väldigt grundligt matematiskt bevisat här försöker förklaras i enkla svenska ord och ord kan ha olika betydelser och det kommer alltid bli tvetydigt vad man menar.

0.95 och 1 har massvis med reella tal emellan så de är inte samma tal. 0.999.. och 1 har inget tal emellan och är därmed samma tal.

För att fortsätta på det fetmarkerade ovan: Givet två reella tal så finns det alltid ett annat mellan dem, så det finns alltid ett glapp mellan två olika tal. Så att de i Wikipedia skriver att det inte finns glapp mellan talen är ganska konstigt uttryckt, mindre konstigt uttryckt borde vara att säga att talen ligger oändligt (infinitisemalt) nära varandra. Fast det är möjligt att man stöter på problem genom att säga så med.

Man kan definiera 0,a_1a_2a_3... som en oändlig serie, detta görs inte alltid. Faktum är att det kanske är ovanligt, jag letade igenom några av mina matteböcker och de flesta struntar i att definiera det och bara Rudin gjorde det och där gäller inte 0,999...=1. Jag kommer ihåg att någon professor på KTH definierade det som Rudin i någon kurs, men de flesta struntar i att definiera decimaler.

Min analogi till Cesaro summering gick tydligen över ditt huvud, men den är inte viktig.

Det wikipedia artikeln menar med inga glapp är ganska uppenbart en egenskap som inte får has av de rationella talen då dessa inte är "alla talen på en kontinuerlig linje".

Ändring: Alltså det är vanligt att säga att den reella tallinjen saknar "hål" men dessa finns hos de rationella. Detta är antagligen vad wikipedia menar med glapp och är inte mycket konstigare skrivet.

Nopp.


Japp.

De enda hålen jag ser är hos de försöker vara rationella...

Så du håller med mig?

Vad ska detta betyda?