0,99.. = 1?

Nej, det tycker jag inte är något självklart påstående. Vad sjutton är en oändlig mängd?


Jo, om du kan visa att detta kommer att funka för vilket n du än väljer. Vilket du gör med hjälp av induktionsbevis.

Mängden av positiva heltal, t.ex. En oändlig mängd kan definieras som en mängd som har sej själv som delmängd (avseende på bijektioner). Inget konstigt med det.

Ja men vad säger att det funkar för n + 1 bara för att det funkar för n och alla tal under n? Kan man visa att det funkar för n och för n + 1 så gäller induktionen. Men bara för att det funkar för n så kan man inte säga att det funkar för n + 1.

Nja, du har nog fått det här med induktionsbevis om bakfoten. Kalla det du vill visa för (*). Först måste man visa att (*) är sann då n = 0. Sen måste man visa att om (*) är sann för n = p så ska det medföra att (*) är sann även för n = p + 1. Om (*) är sann för n = 0, och n = p => n = p + 1, så är (*) sann för alla tal 1,2,3...

jo.

Jo, det är ju det man visar med hjälp av induktionsbeviset.

Du kan bevisa induktion antingen för p+1 eller p-1.
Självklart existerar även oändliga mängder;
http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_set

Ok, vi antar nu att det inte existerar oändliga mängder. Speciellt måste då de positiva heltalen vara uppåt begränsade. Då måste det finnas ett största element i den uppåt begränsade mängden. Kan du ge oss en ledtråd hur man finner detta tal?

Det är en viktig skillnad och Peanos axiom definierar just mängden N, dvs alla tal som uppfyller kriterierna för naturliga tal. Ett exempel på detta är axiomet om att varje naturligt tal n har en efterföljare S(n), som också är ett naturligt tal. Med andra ord; om du försöker konstruera en begränsad mängd N/k, så finns det alltid ytterligare ett tal som borde ingå i mängden, dvs antagandet om en begränsad mängd faller.


Med andra ord ifrågasätter du möjligen att summera oändliga serier? Hur löser du då Zenons paradoxer (om Achilles springer 10 ggr så fort som sköldpaddan som har tio meters försprång, så hinner han upp sköldpaddan efter 10/9 sekund)?

Ska du ifrågasätta etablerad matematik bör du också ha ett hum om vad du anser istället.


Precis som med de naturliga talen, så är inte induktionsaxiomet finit till sin natur. Oavsett hur man väljer att formulera det, så är det ett andra ordningens axiom som uttalar sig om egenskaper för hela N (med lite hemsnickrade logiska symboler):
Vn«N:(f(0)&(f(n)->f(n+1)))->Vn«N:f(n)
(förklaring: V - "för varje" (upp och nedvänt A), N - mängden av de naturliga talen, « - element i).

Men även om du skulle välja att bortse från de uppenbara implikationerna av oändlighet i Peanos axiom (eller "oändlighetsaxiomet" i ZFC), så har du kvar bekymret med att definiera reella tal, där det endast finns en indirekt defintion, som dessutom indikerar att de är oändligt många.

Låt mig slutligen ställa frågan hur du ser på tal som e och pi. Är de bara teoretiska konstruktioner, eller accepterar du att de definieras antingen som gränsvärden (t.ex. i fallet pi av en omskriven månghörning där antalet sidor går mot oändligheten) eller som oändliga summor?

Ett alternativ är att "kollektionen av de positiva heltalen" inte är en mängd.

Om du gör en sån manöver för att slingra dej ur oändliga mängder, blir det till att bygga en ny matematik, som vilar på någon annan logisk grund än mängdlära.

Vad menar du att det skulle vara då? Kan du ge en bättre definition?