olika "sorters" ström

Utmärkt sammanfattning! Du gjorde allt matematiskt arbete som jag inte orkar göra...

En liten kommentar. I transportteori så är flödet (flux) en strömtäthet, så strömmen ges genom integration av flödet över lämplig tvärsnittsyta (om det är görligt). Problemet är att i elektromagnetism så är flödet den integrerade storheten och vi talar där om flux density. En annan skillnad är att storheten i transportteori är skalär och i elektromagnetism är den vektoriell, och i transportteori räknar vi bara "hur mycket" av storheten som passerar gränssnittet (vi bryr oss alltså inte om riktningen), medan vi i elektromagnetism integrerar den vektoriella enhetens inre produkt med ytans normal. Det är en ganska stor skillnad.

Praktiskt exempel: strömmen säger hur mycket laddning som placerar genom en tvärsnittsyta per tidsenhet. Om laddningarna passerar gränsytan "snett" spelar ingen roll.

...alla flöden är inte nödvändigtvis strömmar.

Några exempel som dyker upp i Maxwells ekvationer.

Beteckna med E den elektriska fältstyrkan. I allmänhet är den en funktion av x,y,z.

Det elektriska flödet av fältlinjer genom en sluten yta S=∂V ges av ytintegralen



I detta fall är flödet inte någon transport av laddning(el massa). Integralen uppträder i Gauss´ lag för elektriska laddningar:


Om man nu sätter in integralerna, så börjar det lukta Maxwell


Eftersom jag lider av både fullkomlighets- och storhetsvansinne , så kör jag igenom rubbet på fläcken.

Gauss sats på ytintegralen ger:

Därav följer:


Då S är en godtyckligt vald yta, och V därmed oxå godtycklig volym, följer att integranden = 0 dvs

div E-ρ/ε0 => div E = ρ/ε0

Och detta är Maxwells ekvation för laddningstätheten. Även kallad "Gauss lag i differentialform" (inte att förväxla med differentialformer)

Så magnetiskt flöde Φ.
Beteckna med B den magnetiska flödestätheten. Enhet 1 Tesla = 1 weber per kvadratmeter = 1 voltsekund per kvadratmeter: 1 T = 1 Vs/m²

För det magnetiska flödet Φ över en sluten yta S gäller alltid:

Analogt med ovanstående (anv Gauss sats osv) fås: div B = 0

Men så kan du ju inte säga.. nu blev det ju jättekrångligt (att själva fältstyrkan också är ett flöde). Nåja, någon ström är den iaf inte.

Kan man visa (matematiskt) vad sannolikhetsflöde är då?

Sannolikhetsström:

j = hbar/(mi) (ψ*grad ψ - ψ grad ψ*)

där alltså i är imaginära enheten, "*" betecknar komplext konjugat och hbar är Plancks konstant.

Skulle du kunna försöka dig på en förklaring i ord också?

...blir det när man börjar titta på konservationslagar för vektorvärda flödestätheter.

Ska inte gå in på det, men man kan faktiskt definiera skalärprodukter som är vektorer! Dvs en relation av formen <A,B> = C, där C är en vektor.

Sådana uppträder när man ska studera flödet av t.ex. rörelsemängdstäthet genom en yta.

Rörelsemängd är en vektorvärd storhet, p = mv.

För en kontinuerlig massfördelning gäller istället med trippelintegraler:


Här är åter igen integranden en storhetstäthet:

rörelsemängdstäthet = ρv, dvs


Men om nu redan rörelsemängdstätheten är en vektor (till skillnad från masstätheten), vad är då "rörelsemängdsströmtätheten"? En vektorvektor???

Den är en tensor (tensorfält) av andra ordningen. En tensor av andra ordningen kan åtminstone här och nu betraktas som en kvadratisk matris, dock lite speciell sådan.

I det här fallet är rörelsemängdsströmtätheten = ρv⊗v, vilket är en tensor.
(om inte tecknet syns i browsern, ska vara ett kryss inskriven i en cirkel)

Just den här tensorn är en "vektor multiplicerat med en vektor". Krysset i cirkeln är den s.k. tensorprodukten, här tensorprodukten av 2 vektorer.


För att associera begreppet tensorprodukt till något bekant.
Låt A och B vara 1x3-matriser (radvektorer). Man kan bilda 2 olika produkter av dessa. Beteckna med (A*) transponatet till A, vilket blir en 3x1-matris (kolonnvektor).

En produkt är matrisprodukten (A*)B. Med lite räknande med matrimultiplikation ser man att detta är sak samma som skalärprodukten mellan A och B, dvs

(A*)B = <A,B>

En annan möjlig produkt är matrisprodukten A(B*), vilket efter lite räknande med matrimultiplikation blir en 3x3-matris:


Då är tensorprodukten av A och B sak samma som matrisprodukten mellan en 3x1-matris (här transponatet av en radvektor) och en 1x3-matris.
Således är ρv⊗v en 3x3-matris.

Och en skalärprodukt mellan en sådan tensor och en vektor blir då en vektor. Dvs på formen
<A,B> = C, där C är en vektor.

Utgå från kontinuitetsekvationen som säger att förändringen i densiteten i en punkt av storheten över tiden måste "orsakas" av ett nettoflöde (strömtätheten måste divergera) i den punkten:

∂ρ / ∂t + div J = 0.

Om man nu låter densiteten vara den kvantmekaniska sannolikhetsdensiteten ρ = |ψ|² så kan man genom att använda Schrödingerekvationen för vågfunktionen och manipulera uttrycken lite komma fram till ovanstående uttryck för sannolikhetsströmmen.

Lite kvant om du är rostig: Fysikaliska system beskrivs av vågfunktioner ψ som beräknas genom att lösa den partiella differentialekvation som kallas Schrödingerekvationen. Om man har vågfunktionen för en partikel så är är |ψ(r)|² sannolikheten för att man ska hitta partikeln i punkten r. I någon mening är alltså |ψ(r)|² ett mått på partikeldensiteten. Väntevärdet av |ψ(r)|² är den klassiska partikeldensiteten.

Tidberoende (icke-relativistiska) Schrödingerekvationen:

Hψ = i hbar ∂ψ/∂t

där H är Hamiltonoperatorn som för en ensam partikel i en potential V kan skrivas

H = -hbar^2/(2m) Δ + V,

där Δ = (∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)² och V är potentialen.

Men då blir ju sannolikhetstäthet samma som partikeltäthet, och sannolikhetsström samma som partikelström?

Alla strömmar är flöden av något. Men alla flöden är inte strömmar!

Exempel på sistnämnda är flödena av fältlinjer, såsom i fallen flöde av elektriska fältlinjer, samt magnetiskt flöde.

De är flöden av något vektorfält, vilket svarar mot ytintegralerna av vektorfälten. Däremot är de inga strömmar, vilket skulle svara mot ytintegraler av motsvarande strömtätheter.

Ström = ytintegral av strömtäthet, vilket kräver en relation av typen j = ρv.

Analogt för mass-ström:
Men det finns inga sådana relationer för E resp B-fälten.

Nja, jag säger inte att fältstyrkan är ett flöde. Jag säger:

Man kan betrakta elektriska fältstyrkan E som flödestäthet av fältlinjer genom ytan, men det är ingen strömtäthet.

Motsvarande ytintegral ger ett flöde genom ytan, men ingen ström (ström i mening transport av något).

Nja, inte riktigt. Sannolikheten är just en sannolikhet. Säg att du har en sannolikhetsström som infaller från vänster mot en potentialbarriär. Genom att lösa Schrödingerekvationen finner du att sannolikhetsströmmen på höger sida om barriären är 1 % av storleken på den infallande sannolikhetsströmmen. Detta innebär att en infallande partikel har 1 % chans att passera barriären. Men skickar du 1000 partiklar mot barriären så kanske 15 passerar istället för 10. Begreppet partikelström (som är tillämpbart i klassiska system) kräver att en exakt andel av den infallande storheten passerar barriären (detta blir problematiskt när man inte ser strömmen som kontinuerlig utan som bestående av partiklar).

Ta som exempel storheten laddning.




Men riktigt knepigt blir det när vi går vidare till vektorvärda storheter. Det är då tensorerna (matrisprodukt) dyker upp.
Ta som exempel storheten laddningsström.





Ibland kan dock namnen bli glyttiga. Vad ska t.ex. strömtätheten för storheten L = r x p heta?

Rörelsemängdsmomentströmtäthet?

Bättre då att benämna den strömtäthet av rörelsemängdsmoment.