Citat:
Kan vara så att när jag försöker skriva det på svenska så försvinner lite i översättningen.Det e helt OK om du reagerar på det. Men grundtanken - en oändlighet kan inte jämföras med en annan oändlighet - borde väl ändå översättas korrekt, eller hur?
Och det är inte ett felaktigt påstående. Så vänligen upplys mig: vad är det felaktiga?
Citat:
Jag har inga problem med att förklara om du är intresserad, men ja du har helt korrekt i att det mer eller mindre diskvalificerar dig. Det jag går igenom nu är gymnasiematte. 
Kortfattat:
ℤ : Mängden av alla heltal: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
ℚ : Mängden av alla rationella tal: -1/2, 3/4, -7/8, 13/16 ...
ℝ : Mängden av alla reella tal: pi, e, √2
ℤ är en delmängd av ℚ, dvs alla heltal är även rationella tal, men inte tvärtom. ℚ är även en delmängd av ℝ, vilket betyder att att både alla heltal och alla rationella tal också är reella tal. De irrationella talen, (tal som ingår i ℝ men inte ℚ) är helt enkelt de tal som inte går att skriva som ett bråktal.
En bijektiv mappning mellan två mängder är en "ett till ett"-mappning, dvs att man kan para ihop elementen i båda mängderna så att alla element från ena mängden har exakt en kompis från den andra mängden och vice versa.
Vi går ifrån oändligheten ett tag, och tittar på ändliga mängder. Ta exempelvis mängderna {1,2,3} och {a,b,c} så går det lätt att göra med {{1,a},{2,b}, {3,c}}, men det går att göra på andra sätt också, exempelvis {{1,c},{2,a}, {3,b}}.
Om du funderar lite så tror jag det är ganska lätt att inse att möjligheten att skapa en bijektiv mappning mellan två mängder är ekvivalent med att de har lika många element. Om det går så är det lika många, och om de är lika många så går det.
Sådana bijektiva mappningar går även att göra med oändliga mängder. För enkelhetens skull introducerar jag en till talmängd, de naturliga talen ℕ, vilket är de icke-negativa heltalen, dvs 0, 1, 2, 3 ... ℕ är en delmängd av ℤ, dvs ℤ innehåller alla element i ℕ men inte vice versa.
Spontant kan det låta märkligt att det går att skapa en bijektiv mappning mellan dem, eftersom alla element i ℕ finns i ℤ, men inte tvärtom. Men det går faktiskt. Vi kan ta funktionen f(n) = { n/2+1 om n är jämnt, och -((n+1)/2) om n är udda. Den här funktionen tar ett tal från ℕ och spottar ut ett tal från ℤ
f(0) = 0/2 = 0
f(1) = -(1+1)/2 = -1
f(2) = 2/2 = 1
f(3) = -(3+1)/2 = - 2
f(4) = 4/2 = 2
Som du ser följer utdatan mönstret 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5 ...
Vi kan lätt se att om du väljer ett heltal, precis vilket som helst, så kommer det att finnas med i ovanstående lista. Vi kan också lätt se att oavsett vilket heltal du väljer så kan vi räkna ut exakt vilket naturligt tal man måste stoppa in i f för att generera det heltalet. Vi har alltså en bijektiv mappning, och det betyder att ℕ och ℤ har "lika många" element.
Man kan göra det mellan någon av ℕ och ℤ till ℚ också, men det är mer komplicerat. Därför drog jag in ℕ istället.
Vi har nu gjort en bijektiv mappning mellan ℕ och ℤ. Jag tror att det är lätt att inse att det inte är den enda möjliga mappningen. Vi kan exempelvis låta de positiva talen komma först: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, eller ta två av samma tecken åt gången: 0, -1, -2, 1, 2, -3, -4, 3, 4, 4, -5, 6...
Det viktiga för att betrakta dem som lika många är att det GÅR att skapa en sådan mappning
Och det GÅR inte att skapa en mappning mellan ℤ och ℝ. Oavsett vilken mappning du gör som inkluderar alla element i ℤ så kommer det alltid att vara element i ℝ som inte har fått någon kompis. Därmed är mängden ℝ större än ℤ.
Mängderna ℕ, ℤ, ℚ tillhör för övrigt den minsta oändligheten. Det kallas att de är uppräkneligt oändliga.
Citat:
Eller så här:Jag har inga problem med att förklara om du är intresserad, men ja du har helt korrekt i att det mer eller mindre diskvalificerar dig. Det jag går igenom nu är gymnasiematte.
Kortfattat:
ℤ : Mängden av alla heltal: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
ℚ : Mängden av alla rationella tal: -1/2, 3/4, -7/8, 13/16 ...
ℝ : Mängden av alla reella tal: pi, e, √2
ℤ är en delmängd av ℚ, dvs alla heltal är även rationella tal, men inte tvärtom. ℚ är även en delmängd av ℝ, vilket betyder att att både alla heltal och alla rationella tal också är reella tal. De irrationella talen, (tal som ingår i ℝ men inte ℚ) är helt enkelt de tal som inte går att skriva som ett bråktal.
En bijektiv mappning mellan två mängder är en "ett till ett"-mappning, dvs att man kan para ihop elementen i båda mängderna så att alla element från ena mängden har exakt en kompis från den andra mängden och vice versa.
Vi går ifrån oändligheten ett tag, och tittar på ändliga mängder. Ta exempelvis mängderna {1,2,3} och {a,b,c} så går det lätt att göra med {{1,a},{2,b}, {3,c}}, men det går att göra på andra sätt också, exempelvis {{1,c},{2,a}, {3,b}}.
Om du funderar lite så tror jag det är ganska lätt att inse att möjligheten att skapa en bijektiv mappning mellan två mängder är ekvivalent med att de har lika många element. Om det går så är det lika många, och om de är lika många så går det.
Sådana bijektiva mappningar går även att göra med oändliga mängder. För enkelhetens skull introducerar jag en till talmängd, de naturliga talen ℕ, vilket är de icke-negativa heltalen, dvs 0, 1, 2, 3 ... ℕ är en delmängd av ℤ, dvs ℤ innehåller alla element i ℕ men inte vice versa.
Spontant kan det låta märkligt att det går att skapa en bijektiv mappning mellan dem, eftersom alla element i ℕ finns i ℤ, men inte tvärtom. Men det går faktiskt. Vi kan ta funktionen f(n) = { n/2+1 om n är jämnt, och -((n+1)/2) om n är udda. Den här funktionen tar ett tal från ℕ och spottar ut ett tal från ℤ
f(0) = 0/2 = 0
f(1) = -(1+1)/2 = -1
f(2) = 2/2 = 1
f(3) = -(3+1)/2 = - 2
f(4) = 4/2 = 2
Som du ser följer utdatan mönstret 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5 ...
Vi kan lätt se att om du väljer ett heltal, precis vilket som helst, så kommer det att finnas med i ovanstående lista. Vi kan också lätt se att oavsett vilket heltal du väljer så kan vi räkna ut exakt vilket naturligt tal man måste stoppa in i f för att generera det heltalet. Vi har alltså en bijektiv mappning, och det betyder att ℕ och ℤ har "lika många" element.
Man kan göra det mellan någon av ℕ och ℤ till ℚ också, men det är mer komplicerat. Därför drog jag in ℕ istället.
Vi har nu gjort en bijektiv mappning mellan ℕ och ℤ. Jag tror att det är lätt att inse att det inte är den enda möjliga mappningen. Vi kan exempelvis låta de positiva talen komma först: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, eller ta två av samma tecken åt gången: 0, -1, -2, 1, 2, -3, -4, 3, 4, 4, -5, 6...
Det viktiga för att betrakta dem som lika många är att det GÅR att skapa en sådan mappning
Och det GÅR inte att skapa en mappning mellan ℤ och ℝ. Oavsett vilken mappning du gör som inkluderar alla element i ℤ så kommer det alltid att vara element i ℝ som inte har fått någon kompis. Därmed är mängden ℝ större än ℤ.
Mängderna ℕ, ℤ, ℚ tillhör för övrigt den minsta oändligheten. Det kallas att de är uppräkneligt oändliga.
Kortfattat:
ℤ : Mängden av alla heltal: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...
ℚ : Mängden av alla rationella tal: -1/2, 3/4, -7/8, 13/16 ...
ℝ : Mängden av alla reella tal: pi, e, √2
ℤ är en delmängd av ℚ, dvs alla heltal är även rationella tal, men inte tvärtom. ℚ är även en delmängd av ℝ, vilket betyder att att både alla heltal och alla rationella tal också är reella tal. De irrationella talen, (tal som ingår i ℝ men inte ℚ) är helt enkelt de tal som inte går att skriva som ett bråktal.
En bijektiv mappning mellan två mängder är en "ett till ett"-mappning, dvs att man kan para ihop elementen i båda mängderna så att alla element från ena mängden har exakt en kompis från den andra mängden och vice versa.
Vi går ifrån oändligheten ett tag, och tittar på ändliga mängder. Ta exempelvis mängderna {1,2,3} och {a,b,c} så går det lätt att göra med {{1,a},{2,b}, {3,c}}, men det går att göra på andra sätt också, exempelvis {{1,c},{2,a}, {3,b}}.
Om du funderar lite så tror jag det är ganska lätt att inse att möjligheten att skapa en bijektiv mappning mellan två mängder är ekvivalent med att de har lika många element. Om det går så är det lika många, och om de är lika många så går det.
Sådana bijektiva mappningar går även att göra med oändliga mängder. För enkelhetens skull introducerar jag en till talmängd, de naturliga talen ℕ, vilket är de icke-negativa heltalen, dvs 0, 1, 2, 3 ... ℕ är en delmängd av ℤ, dvs ℤ innehåller alla element i ℕ men inte vice versa.
Spontant kan det låta märkligt att det går att skapa en bijektiv mappning mellan dem, eftersom alla element i ℕ finns i ℤ, men inte tvärtom. Men det går faktiskt. Vi kan ta funktionen f(n) = { n/2+1 om n är jämnt, och -((n+1)/2) om n är udda. Den här funktionen tar ett tal från ℕ och spottar ut ett tal från ℤ
f(0) = 0/2 = 0
f(1) = -(1+1)/2 = -1
f(2) = 2/2 = 1
f(3) = -(3+1)/2 = - 2
f(4) = 4/2 = 2
Som du ser följer utdatan mönstret 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, -5, 5 ...
Vi kan lätt se att om du väljer ett heltal, precis vilket som helst, så kommer det att finnas med i ovanstående lista. Vi kan också lätt se att oavsett vilket heltal du väljer så kan vi räkna ut exakt vilket naturligt tal man måste stoppa in i f för att generera det heltalet. Vi har alltså en bijektiv mappning, och det betyder att ℕ och ℤ har "lika många" element.
Man kan göra det mellan någon av ℕ och ℤ till ℚ också, men det är mer komplicerat. Därför drog jag in ℕ istället.
Vi har nu gjort en bijektiv mappning mellan ℕ och ℤ. Jag tror att det är lätt att inse att det inte är den enda möjliga mappningen. Vi kan exempelvis låta de positiva talen komma först: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5, eller ta två av samma tecken åt gången: 0, -1, -2, 1, 2, -3, -4, 3, 4, 4, -5, 6...
Det viktiga för att betrakta dem som lika många är att det GÅR att skapa en sådan mappning
Och det GÅR inte att skapa en mappning mellan ℤ och ℝ. Oavsett vilken mappning du gör som inkluderar alla element i ℤ så kommer det alltid att vara element i ℝ som inte har fått någon kompis. Därmed är mängden ℝ större än ℤ.
Mängderna ℕ, ℤ, ℚ tillhör för övrigt den minsta oändligheten. Det kallas att de är uppräkneligt oändliga.
Om det finns skitmånga (= jobbigt att räkna) män och kvinnor på en jättestor fest, så vet man att det iaf är lika många om alla dessa kan paras ihop så att det varken blir någon man eller någon kvinna över. Och detta sätt att jämföra fungerar t o m om det är oändligt många män och kvinnor på festen.
Citat:
Det blev inte korrekt förrän denna artikel - förvisso efter mitt gymnasium:
https://www.scientificamerican.com/a...%20same%20size.
Om du från en oändlig serie nummer som inte är *identisk* med en annan, så får du inte samma oändlighet enligt det man lärde ut innan joxet jag länkade kom ut. Alla positiva heltal .. två av dessa kanske teoretiskt kan anses identiska. Men ingår den inledande nollan i båda?
∞ != ∞ var en sak man fick lära sig, iaf innan ovanstående artikel. Och allvarligt, ditt babbel ovan har rätt liten effekt på diskussionen i sak som jag ser det. Om oändligheten består av en evig repetition av *exakt* samma sekvens, för all den. Men om du lägger in minsta deviation från det - så är det inte längre korrekt.
Antar att det var anledningen till att man tidigare lärde ut att ∞ != ∞.
Stöd Flashback
Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!
Swish: 123 536 99 96 Bankgiro: 211-4106
