Vad är chansen att hålla serve(tennis)?

Antag att motståndaren vinner 40% av poängerna, det ger servaren 60% chans att vinna en enskild poäng i sin serve. Antag vidare att varje poäng är oberoende de andra(markov-kedja). Först till fyra poäng vinner gamet(15, 30, 40, game-vinst) och man måste vinna med två poängs marginal(Därmed kan ett game sluta exempelvis 5-3, 6-4, 7-5 osv, i poäng räknat, trots att det är först till fyra poäng som gäller).

Givet informationen ovan, vad är chansen att hålla serven(vinna sitt servegame)? Jag kan enkelt skatta ett närmevärde med ett par gällande siffror. Men hur räknar man ut det exakt?

beror på vilken nivå , på högsta nivån circus 5/6 chans mellan tummen och pekfingret. Går givetvis att kontrollera genom studera tusentals gem på högsta nivån och se, du behöver inte krångla till det mer faktiskt. Cirka 80 % chans grovt svarat.

På låga nivår så kan är det inte så stor fördel, på riktigt låga är det tom en nackdel då nybörjare har svårt att över huvud taget få in en serv.

Du missförstår, det är inte tennis per se som intresserar mig här. Utan matematiken, hur man räknar ut det. Man behöver ju en funktion inbakad i en summeringsmodul(n=4...∞) för alla fall där gamet vins med fler än fyra poäng av servaren(oändligt många möjligheter i teorin). Kan man använda sig av Riemannintegral på något sätt?

Du nämnde själv svaret: Markovkedja! Detta är ju just en teknik för att beräkna sannolikheter för utfall.

Detta är dock inte det enklaste exemplet. Får det till 20 olika möjliga ställningar:
{0,15,30,40} - {0,15,30,40} ; 4² = 16 kombinationer
AD - 40
40 - AD
Vinst
Förlust
Sammanlagt 20 "tillstånd" eller "noder".

Numrera tillstånden på något sätt från 1 till 20. T ex kanske du väljer
1: 0 - 0
2: 15 - 0
3: 0 - 15
4: 30 - 0
5: 15 - 15
6: 0 - 30
...
och säg att nummer v och f är är numren (enl din numrering) där
v: vinst
f: förlust

Skapa sannolikhetsmatrisen M (20×20-matris) mellan dessa, där
M(i,j) = sannolikheten att tillstånd j ska ge tillstånd i.
(i är matrisens radnummer, j är matrisens kolumnnummer).
Enl. ovan har vi då
M(2,1) = p
M(3,1) = q
M(x,1) = 0 om x inte är 1 el 2
M(4,2) = p
M(5,2) = q
M(x,2) = 0 om x inte är 4 el 5
M(5,3) = p
M(6,3) = q
M(x,3) = 0 om x inte är 5 el 6
etc.
Men OBS! Från vinst kan man aldrig få något annat än vinst, och från förlust aldrig något annat än förlust, dvs
M(v,v) = 1
M(x,v) = 0 om x inte är v
M(f,f) = 1
M(x,f) = 0 om x inte är f.

När du är klar med matrisens alla kolumner, ges sannolikheten för tillstånd x efter n bollar av
Mⁿ(x,1)
dvs element (x,1) av Mⁿ.

Och sannolikheten för vinst eller förlust ges av matrisen
lim_{n→∞} Mⁿ
för elementen (v,1) resp (f,1).

Bonus!: Om ställningen redan är tillstånd x, ges de uppdaterade sannolikheterna av elementen (v,x) resp (f,x) av lim_{n→∞}Mⁿ.

---
Och självklart ska man använda någon programvara för att beräkna Mⁿ ...

Från ställningen 3-3 (40-40) kan servaren vinna på ett av två sätt: Antingen med 5-3, eller via 4-4 till något annat resultat. Sannolikheten att vinna vid 4-4 (också 40-40...) är samma som vid 3-3.

P(vinst | 3-3) = P(5-3 | 3-3) + P(vinst | 4-4) * P(4-4 | 3-3)

Sätter man in P(vinst | 4-4) = P(vinst | 3-3) och löser ut P(vinst | 3-3) får man

P(vinst | 3-3) = P(5-3 | 3-3) / (1 - P(4-4 | 3-3)) = 0,6^2/(1 - 2*0,6*0,4) = 69 %.

Det ska alltså multipliceras med sannolikheten att ställningen 3-3 nås. Sen får man addera sannolikheterna för alla andra (ändligt många) sätt att vinna gamet.

Bra där! Så löser man det enklast. Tack!

Passar på att tacka nerdnerd också för intressanta tankar.

Det beror på spridningen i materialet och antalet bollar per game
Finns det ingen spridning kommer servaren alltid att kunna behålla serven rent teoretiskt
Är spridningen väldigt stor kan servemottagaren rent teoretiskt bryta serven 50 procent av gångerna fast bara vinna 40 procent av poängen.
Spelas t ex 6 games som mottagare av serve kan resultatet bli 0+0+0+4+4+4= 12 poäng
Och för servaren 4+4+4+2+2+2 = 18 poäng
Det innebär att mottagaren vann lika många games som servaren men bara fick 12/30 av antalet vunna poäng, dvs 40 procent som i ditt exempel.
Vi kan anta att (1) spridningen är normalfördelad och att (2) sannolikheten för varje slag är 40 procent, men om detta vet vi inget enligt de förutsättningar som är angivna här.

Måste bara fråga om det sista du skriver, varför inte multiplicera 69% med sannolikheten att ställningen 2-2 nås? För P(vinst l 2-2) torde väl vara det samma som P(vinst l 3-3), vilket i sin tur är detsamma som P(vinst l 4-4).

Sätten att vinna från ställningen 2-2 är väl identiska(som vid 3-3, 4-4 etc)? Antingen genom att vinna två raka poäng(till ställningen 4-2) eller via 3-3 till något annat resultat.

Vet inte om mitt antagande är riktigt, men om det är det, så kanske man förenklar uträkningen något(färre antal ändliga fall)?

Vore snällt om du ville elaborera!

mvh
/Tupo

Som du säger är förutsättningarna i princip samma vid 2-2 som vid 3-3. Men man får tänka på att det kan bli både 4-2 och 3-3 utan att ställningen 2-2 förekommer i gamet, så de fallen måste i så fall räknas för sig, vilket blir lite omständligt.

Det smidigaste är nog att dela upp det i fallen 4-0, 4-1, 4-2 och vinst efter 3-3.

Som exempel kan servaren vinna med 4-2 på "5 välj 3" = 5!/(3!2!) = 10 sätt, eftersom servaren måste vinna exakt tre av de fem första bollarna. Varje sådant utfall har sannolikheten 0,6^4*0,4^2. Alltså är sannolikheten 10*0,6^4*0,4^2 = 21 % att servaren vinner sitt game med 4-2.

Just det! Bra nedbrutet!

Börjar med rätt svar, beräknat på två olika sätt, dels med Markovkedjan jag skrev om (som jag medger är lite väl klumpig i detta fall), och dels med en metod som går på samma spår som casefold.

Sannolikheten för vinst i detta fall blir 73.573%.

Därav detta inlägg.

De 4 första bollarna styrs som sagt (eller antytt) helt av binomialfördelningen. Dvs
Pₙ(j) = P(j av n bollar vunna) = (n j)pʲqⁿ⁻ʲ
där
p = sannolikheten att vinna en boll
q = 1 - q = sannolikheten att förlora den
och där binomialkoefficienten
(n j) = n!/(j!(n-j)!) .
För n=4 ger j=4 vinst och j=0 förlust:
P₄(V) = P₄(4)
P₄(F) = P₄(0).

Om vi definierar så att vinst (el förlust) vid boll n också betyder vinst (eller förlust) för boll n+1 etc, kan vi använda binomialfördelningen ett par steg till:
P₅(V) = (5 0)p⁵+(5 1)p⁴q
P₅(AD) = P₅(3-2) = (5 2)p³q²
P₅(DA) = P₅(2-3) = (5 3)p²q³
P₅(F) = (5 4)p q⁴ + (5 5)q⁵
där AD och DA är "Advantage" för resp spelare.

P₆(V) = (6 0)p⁶ + (6 1)p⁵q + (6 2)p⁴q²
P₆(L) = P₆(3-3) = (6 3)p³q³
P₆(F) = (6 0)p²q⁴ + (6 1)p q⁵ + (6 6)q⁶
med "L" för "lika". En fördel med dessa sätt att skriva uttrycken (det finns andra...) är att vi direkt ser att resp sannolikhetssumma blir 1, som det ska vara.

Så med ditt trick ges nu den totala sannolikheten för vinst av
P(V) = P₆(V) + P(V|L)P₆(L)
där, som du visade,
P(V|L) = p²/(1-2pq) = p²/(p²+q²) .

Och sen är det ju bara att sätta in siffror...