Kluriga matematikproblem

Jag kan bidra med ett oförskämt både enkelt och svårt problem:

Börja med ett vanligt schackbräde. Såga bort det övre vänstra hörnet och nedre högre hörnet. Lägg nu ut dominobrickor (av passande storlek) antingen vertikalt eller horisontellt på det som är kvar av brädet så att du täcker alla rutor på brädet. Varje dominobricka antas täcka exakt två rutor på brädet.

Jo, det var exakt det gränsvärdet man skulle använda sig av som en hjälp för att beräkna produkten!

Aha, då är jag med; Weierstrass-faktoriseringar var inget jag stötte på på högskolan (i så fall har jag glömt )

Jag kan svaret! Men vi låter några fler försöka!

Visa att om n,n+2 och n+4 är primtal så är n=3

Förslag:

Om n är ett primtal måste n ≥ 2. Anta att n > 3. Då har vi att n = 3k + 1 eller n = 3k + 2. Om n, n+2, n + 4 är primtal finns ett tal a så att n(n+2)(n+4) är primtalsfaktorer till a. Detta ger (3k + 1) (3k + 3)(3k + 5) och (3k + 2)(3k + 4)(3k + 6) men (3k + 3) och (3k + 6) går att skriva som 3(k + 1) och 3(k + 2). Sålunda n kan inte vara större än 3. Om n = 2 har vi att n + 2 = 4, ergo n = 3.

Lösning nedan på b)
https://tinyurl.com/4r4k9j7d

Ett något enklare problem än de tidigare;

Aidsbyn har ett rikt föreningsliv med bandylag och hembygdsgårdar och lite utav varje. Tyvärr har smittspridningen eskalerat och man har därför beslutat om följande regler:

• Varje förening skall ha ett udda antal medlemmar.
• Varje par av föreningar skall ha ett jämnt antal gemensamma medlemmar.

Aidsbyn har 4336 invånare. Vilket är det största möjliga antalet föreningar när de nya hårda restriktionerna har trätt i kraft?

Låt de fyra kvadraterna ha sidolängden 1 längdenhet. Deras sammanlagda area blir därmed 4 (l.e.)².

Konstruera en (förmodat) rätvinklig triangel ABC genom att dra "hypotenusan" AB genom de tre diagonalt liggande kvadraterna samt höjden CD mot AB. Dra därefter "kateterna" CA och CB enligt figur: https://imgur.com/gYhrUkv

Vi får

|CD| = (1 + 1/2)√2 = (3/2)√2
|BD| = (2 + 1/2)√2 = (5/2)√2

Likformiga trianglar ger sedan

|AD| = |CD|²/|BD| = ((3/2)√2)²/(5/2)√2 = (9√2)/10
och
|DB| = (5√2)/2.

|AB| blir därmed

|AB| = |AD| + |DB| = (9√2)/10 + (5√2)/2 = (17√2)/5.

Övning: Verifiera att ∆ABC är rätvinklig genom att visa att kvadratsumman |AC|² + |AC|² ger kvadraten på |AB|.

AB är alltså en diameter till cirkeln i figuren, vilket ger cirkelarean

(π/4)|AB|² = (π/4) ((17√2)/5)² = (π/2)∙(17/5)².

Kvot (kvadratarea)/(cirkelarea):

4 / (π/2)∙(17/5)² = 8 / π∙(17/5)² ≈ 0.2203.

− om jag har räknat rätt (började slockna mot slutet).

Någon form av förslag: