Hur fouriertransformera detta uttryck?

Precis som topic lyder, hur kan jag fouriertransformera detta uttryck?

Jag har försökt skriva om det för att kunna göra någon form av PBU. Men jag kommer till 1/(w-j)(-w+j) +1, den satans konstanten där på slutet bökar till det rejält för mig, vet inte riktigt hur jag ska gå vidare, tar tacksamt emot tips.

Tittade på följande sida: https://ethz.ch/content/dam/ethz/spe...th/fourier.pdf

Där finns transformparet: u(t)*(e^(-alfa*t))*sin(w_0*t) motsvarar w_0 / ((w_0)^2+(alfa+jw)^2)

Fult skrivet men det är alltså första transformen på sidan 3. Väljer man w_0 = 1 och alfa=1 så är man hemma. u(t) är stegfunktionen här. Jag använde : (1+jw)*(1+jw) = 1-w^2+2jw. Alltså funkar w_0 = 1.

Edit: Det är sidan tre transformparet finns på.

Känns som att detta bör kunna göras om till en komplex kurvintegral där residysatsen kan användas för polerna -1+j och 1+j. Lite som här:

https://en.wikipedia.org/wiki/Contou...y_distribution

Det önskade jag att det var, men den är inte 1-w^2+2jw, utan den är 2-w^2+2jw
Du fick mig rejält där trodde jag hade löst det , eller missar jag något kanske?


EDIT: Okej nu fattar jag, det var jag som tänkte helt fel, nu var det jag som glömde bort 1an, jag tror jag vet vad du menar!


Ska kika!

Löste det nu, tack! Du anar inte hur länge jag har suttit med det här, det känns ganska sjukt om det var så lätt. Tack!

Titta på sidan 3 om man följer numreringen längst ned eller sidan 4 om man tittar längst upp i rutan.

Där finns ett transformpar, jag skriver nämnaren med andra bokstäver :

a^2 + (b+jwc)^2 = a^2 + b^2 + 2jwbc - c^2w^2

välj b=c=1 ---> a^2 + 1 + 2jw- w^2

Om man väljer a = 1 så får man 2+ 2jw -w^2

Då är nämnaren klar. Titta i tabellen. a = 1 motsvarar då det som kallas omega index noll där.

Högst upp på sidan 4 om du följer index i pdfen, eller högst upp på sidan tre om du följer indexeringen som står på själva sidorna.

Jag bygger vidare på Igni-ferroque's observation avs. transformtabellen.

Då
\[
2-\omega^2+2j\omega
=1+1+2j\omega-\omega^2
=1^2+(1+j\omega)^2
\]
har vi att
\[
F(\omega)
=\frac{1}{2-\omega^2+2j\omega}
=\frac{1}{1^2+(1+j\omega)^2}.
\]
Från tabell fås att
\[
f(t)=H(t)e^{-\alpha t}\sin(\omega_0t)
\quad\Leftrightarrow\quad
F(\omega)=\frac{\omega_0}{\omega_0^2+(\alpha+j \omega)^2}
\]
där \(H(t)\) är heavyside-funktionen.

För \(\alpha=1\) och \(\omega_0=1\) fås
\[
f(t)=H(t)e^{-t}\sin(t)
\quad\Leftrightarrow\quad
F(\omega)=\frac{1}{1^2+(1+j\omega)^2}
\]
där \(H(t)\) är heavyside-funktionen.

Alltså är den sökta funktionen
\[
f(t)=H(t)e^{-t}\sin(t).
\]

Vi söker
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\!f(t)\,\mathrm{d}t
=\int_{-\infty}^{\infty}\!H(t)e^{-t}\sin(t)\,\mathrm{d}t
=\int_0^{\infty}\!e^{-t}\sin(t)\,\mathrm{d}t.
\]

Vi har att
\begin{align*}
I
&
=\int_0^{\infty}\!e^{-t}\sin(t)\,\mathrm{d}t
=\underbrace{\bigl[-e^{-t}\sin(t)\bigr]_0^{\infty}}_{=0}-\int_0^{\infty}\!-e^{-t}\cos(t)\,\mathrm{d}t
=\int_0^{\infty}\!e^{-t}\cos(t)\,\mathrm{d}t
\\&
=\underbrace{\bigl[-e^{-t}\cos(t)\bigr]_0^{\infty}}_{=-0-(-1)=1}-\int_0^{\infty}\!-e^{-t}\bigl(-\sin(t)\bigr)\,\mathrm{d}t
=1-\int_0^{\infty}\!e^{-t}\sin(t)\,\mathrm{d}t
=1-I
\end{align*}
vilket ger ekvationen
\[
I=1-I
\quad\Leftrightarrow\quad
2I=1
\quad\Leftrightarrow\quad
I=\frac{1}{2}.
\]

Alltså har vi att
\[
\int_0^{\infty}\!e^{-t}\sin(t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}.
\]

Vi verifierar våra räkningar i Mathematica;
ger
och
ger

Tack så mycket för er hjälp, verkligen alla som har postat. Jag uppskattar det mycket!

Snygg lösning här.

Så tanken är att när jag får heavysides stepfunktion, ska jag testa både 0 och 1?
I detta fall blev integralen från 0 till infinity, är det fallet varje gång att parametrarna på integralen blir så?

En funktion med Heavyside är ett måste här, då för negativa \(t\)-värden (på intervallet \((-\infty,0)\)) är \(e^{-t}\) exponentiellt växande och integralen konvergerar ej. På positiva sidan avtar \(e^{-t}\) och vi har konvergens. Svängningen skapad av \(\sin(t)\) blir mer och mer ointressant.
Inte den bästa graf, men den ger en indikation om det totala "kaos" som sker på den negativa sidan, medan lugnet hägrar på den positiva sidan.
https://www.wolframalpha.com/input/?...%5E%28-t%29%29

Okej! förståeligt! Märkte precis att alla dom Exp(negativt värde) har heavyside funktionen, där ser man!

"Matematikens Tramadol" – tar bort kaoset, lugnet och stillheten råder...

Hahahahahahahahaha den var bra xD