[Ma 4] Lös ekvationen och svara i grader

Hej! Uppgiften lyder:

sqrt(3)sin(x/3)-cos(x/3)=1

Facit:

Känner du till hjälpvinkelmetoden?

Nej, den känner jag inte till. Men uppgiften ska kunna gå att lösa ändå.

Jag tycker ändå att herr banan har givit en rätt bra ledtråd. Hjälpvinkelmetoden ger dig möjlighet att skriva om sqrt(3)sin(x/3)-cos(x/3) på formen
a*sin( (x/3) + b )
Ekvationen att lösa blir då
a*sin( (x/3) + b ) = 1

a kommer i det här fallet vara sqrt( (sqrt(3)^2 + (-1)^2 ) = 2

Om du inte känner till hjälpvinkelsatsen tror jag uppgiften skall lösas enligt följande.

\[
\sqrt3\sin(x/3)-\cos(x/3)=1
\quad\Leftrightarrow\quad
\tfrac{\sqrt3}{2}\sin(x/3)-\tfrac12\cos(x/3)=\tfrac12.
\]
Koordinaten \((\frac{\sqrt3}2,-\frac12)\) har vinkeln \(-30^\circ\) på enhetscirkeln varför vi kan skriva ovanstående ekvation som
\[
\cos(-30^\circ)\sin(x/3)+\sin(-30^\circ)\cos(x/3)=\tfrac12
\quad\Leftrightarrow\quad
\sin(x/3)\cos(-30^\circ)+\cos(x/3)\sin(-30^\circ)=\tfrac12.
\]
Vänsterledet i den sista ekvationen kan du skriva om med additionsformel;
\[
\sin(x/3-30^\circ)=\tfrac12.
\]
Denna ekvation har lösningarna
\[
x/3-30^\circ=30^\circ+n\cdot360^\circ
\quad\text{eller}\quad
x/3-30^\circ=150^\circ+n\cdot360^\circ
\]
vilket omskrivet blir
\[
x/3=60^\circ+n\cdot360^\circ
\quad\text{eller}\quad
x/3=180^\circ+n\cdot360^\circ
\]
d.v.s.
\[
x=180^\circ+n\cdot1080^\circ
\quad\text{eller}\quad
x=540^\circ+n\cdot1080^\circ
\]

Två uppgifter till:

1. cos2x=cos(x-45°)
2. 3cos^2x-2sinx=2

Facit

Om någon kan tipsa om en metod på hur man gör på den här typen av ekvationer skulle det uppskattas. Rätt klurigt det här, tycker jag.

På den första så finns det en metod på Wikipedia: (https://en.wikipedia.org/wiki/List_o...c_identities):

cos (v) = cos(u) har allmänt lösningen: v = +- u +k*360° där k heltal.

Sätter man v = 2*x samt u = x-45° så får man två ekvationer:
1 : 2*x = (x-45°) + k*360°
2: 2*x = -(x-45°) + k*360°

Det ger facitsvaren direkt.

Tvåan : Använd trig-ettan till att skriva om ekvationen:

3*(1-sin^2(x)) - 2sin(x) = 2 ---> -3sin^2(x)-2*sin(x) = -1

Här kan man se att 270° +k*360° funkar eftersom (-1)^2 = 1

Sedan kan man sätta sin(x) = t och får då en andragradare:

t^2 + (2/3)*t -(1/3) = 0

För mig ger det t = -(1/3) +- (2/3) sätter man in t = sin(x) och tar det på dosan så fick jag två svar som verkar stämma med facit.

Den första uppgiften kan man nog säga hade en allmän metod, tvåan var lurigare och här kan det mycket väl finnas en smartare lösning?

Tack för hjälpen!