Justera svaret i frågesportprogram

I ett frågesportprogram på TV får två lag (Lag 1 och Lag 2) samma fråga. Det är givet att svaret är ett icke negativt reellt tal. Det lag som avger det av de två svaren har minst avstånd till det rätta svaret får poäng. Avståndet är absolutbeloppet av differensen mellan avgivet svar och rätt svar. Lag 1 gör en täthetsfunktion som beskriver dess uppfattning om det rätta svaret. Lag 1 gör också en täthetsfunktion som beskriver dess uppfattning om vad Lag 2 kommer att svara. Vad ska Lag 1 svara för att göra chansen till poäng så stor som möjligt?

11.

Jag förstår. Låt mig modifiera frågan en aning! Istället för att Lag 1 gör en täthetsfunktion som beskriver dess uppfattning om vad Lag 2 kommer att svara, så gör Lag 1 en täthetsfunktion som beskriver vad Lag 1 tror är Lag 2 uppfattning om det rätta svaret.

Ge det svar som ger lika stor risk att ditt svar är högre än andra lagets svar, som risken att ditt svar är lägre än det rätta svaret (eller vice versa beroende på hur skattningen av rätta svaret förhåller sig till skattningen av andra lagets svar)

Har en sorts ide(tror jag), för att belysa den fuskar jag och räknar på en diskret fördelning:

Fall 1 : Lag 1 vet säkert att rätt svar är ett årtal i intervallet 1770-1780. Man vet också säkert(100%) att Lag 2 kommer gissa på ett årtal i intervallet : 1775-1885.

Antar att gissningarna är uniforma, dvs att båda lagen har 1/11 i chans att gissa på ett årtal inom sitt intervall. Räknar först på vinstchansen för lag 1 om man gissar på 1774 :

5/11 {årtalen 1770-1774 har man "monopol" på} +1/11*(9/11) {1775 är rätt svar} +1/11(7/11) {1776 är rätt svar} +...+1/11*1/11{1779 är rätt svar} = 80/121

Exakt samma resonemang på några andra år :
1775 : 80/121
1776: 83/121
1777: 82/121

Intressant nog så ligger max inte på 1775 för lag 1 utan man tjänar på att flytta sin gissning till 1776.
Man tjänar alltså på att ta en risk genom att utnyttja att man vet säkert att lag 2 i medel kommer att gissa högre än 1775. Man tar en risk baserat på vad man vet om andra laget i förhållande till det man vet säkert.

Jag tror att det är detta Mulpac menar.

Fall 2. I fall 1 så visste man säkert att man hade rätt intervall. Men vad händer om man tror att man har rätt intervall med 75% chans och att man tror att lag 2 har 25% att ha rätt intervall?

Försökte räkna på det. Tex om man gissar på 1774:

3/4* (det man fick förut) + 1/4* 1/11*(9/11){1775}+1/4*1/11*(7/11)+...

Här märker man att man tappar 1/4*5/11 dvs man förlorar 1/4 av värdet på åren 1770-1774 !
Det här gäller även om man gissar på 1775,1776 osv. Tabell:

1774: -1/4*5/11
1775: -1/4*(10/11)*(5/11)
1776: - 1/4(9/11)*(5/11)
osv osv.

Man ser alltså att de låga gissningarna tappar litet värde i förhållande till högre gissningar, vilket är fullt rimligt. Om man tror litet mer på lag 2 och deras högre intervall borde sannolikheten dra sig uppåt något för litet för högre årtal.

Nu fuskade jag genom att gå till en diskret fördelning, men samma sak borde gälla för reella tal och två liknande kontinuerliga normalfördelningar. Däremot kanske det kan bli knepigt om lag 2 gissar på en fördelning som ser väldigt annorlunda ut jämfört med lag2, eller om något av lagen gissar på en fördelning med flera olika maximum.

Ska man anta att det andra lagets svar är oberoende av det första lagets svar?

Fina svar här tycker jag.
Det är ju en bra fråga som jag inte tänkte på. Jag hade tänkt mig att båda lagen sitter i ljudisolerade rum men man kan ju också tänka sig att Lag 1 svarar först och Lag 2 får höra svaret från Lag 1 och sedan svarar Lag 2.

Det är fritt för tolkningar. Taktiken torde bli väldigt olika i de olika fallen.

Vet man vad andra laget gissar blir det ju enklare på det sättet att man då kan ge ett svar väldigt nära andra lagets svar, men åt det håll man tror att rätt svar är. I princip behöver man alltså bara klura ut om man tror att det rätta svaret är högre eller lägre än det andra laget sagt.

Hur som helst bör man förskjuta sitt svar mot vad (man tror) det andra laget svarar när man inte vet rätta svaret, och vet man exakt vad andra laget svarar bör man lägga svaret väldigt nära deras svar. Å andra sidan har man rimligtvis oftast rätt dålig uppfattning om vad andra laget kommer svara om man inte får höra deras svar, så då blir det bäst att svara vad man tror är rätt svar.

Jag minns en annan situation (återigen från en TV-program) i vilken två deltagare skulle stå inne i en cirkel gjord av stenar. De skulle gå ut ur cirkeln vid valfri tidpunkt. Den som gick ut ur cirkeln närmast en viss tid (jag tror det var 1 timme efter start) hade vunnit tävlingen. Först gick deltagare 1 ut ur cirkeln. Sedan spatserade deltagare 2 runt i cirkeln i ytterligare cirka 10 minuter innan även denne gick ut ur cirkeln. Förmodligen var avsikten hos deltagare 2 att komma så nära 1 timme som möjligt. Man kan undra hur funderingarna hos deltagare 2 var under denna period av 10 minuter,

Jag har gjort ett försök att lösa ett kontinuerligt fall. Jag tror att det är rätt, men jag skulle inte sätta mitt liv på det.

Sanorlikheten att vinna med en gisning (g) kan beskrivas med funktionen

P(g) = int(-inf,inf)int(-inf,inf)L(x)S(s)V(x,s,g)dxds

L(x) är täthetsfunktionen för andra lagets gissning
S(s) är täthetsfunktionen för det korrekta svaret
V(x,s,g) är en funktion som är 1 om man vinner, 0 annars. x är andra lagets gissning, s är rätt svar, och g är ens gissning.

V(x,s,g) är 1 om
x < g < s, eller
s < g < x, eller
x < s < g & x < 2s-g, eller
g < s < x & x > 2s-g,
annas 0.

Jag väljer att beräkna ett exempel där
L(x) = 1/10 om 1770 <= x <= 1780, annars 0
S(s)= 1/10 om 1775 <= s <= 1785, annars 0

Integralerna i P(g) går att dela upp i de olika fall där V(x,s,g) är 1

x < g < s
int(1770,g)int(g,1785)*1/10*1/10 dxds = (g-1770)(1785-g)/100
Vilket bara är rimligt om ens gissning är mellan 1770 och 1785. Kollar man intervallen så inser man att de enda rimliga gissningarna är 1775 till 1780. Det finns ingen anledning att gissa under minsta värdet på möjliga svar, och ingen anledning att gissa över vad andra lagets max-svar.
Gränserna 1770 och 1785 i integralerna är för att L(x) är noll för x<1770, och S(s) är noll för s>1785

s < g < x
int(g,1780)int(1775,g)*1/10*1/10 dxds = (1780-g)(g-1775)/100
Vilket bara är rimligt om ens gissning är mellan 1775 och 1780. Men det är ok enligt argumentet ovan

x < s < g & x < 2s-g
int(1770,2s-g)int(1775,g)*1/10*1/10 dxds = 5/100*(g-1775)

g < s < x & x > 2s-g
int(2s-g,1780)int(g,(1780+g)/2)*1/10*1/10 dxds = 1/400*(1780-g)^2
Integralen för s går mellan g och (1780+g)/2. Anledningen är att det är omöjligt att få
g < s < x & x > 2s-g
ifall s är större än (1780+g)/2, och x<1780
Skulle man inte fixa intervallen på detta sätt, så skulle man få fall där int(2s-g,1780) bidrar med negativa värden (vilket makes no sense) eftersom man ibland skulle få att 2s-g >1780.

Nu kan vi få P(g) genom att lägga ihop delarna
P(g) = 1/100*(g-1770)(1785-g) + 1/100*(1780-g)(g-1775) + 5/100*(g-1775) + 1/400*(1780-g)^2

Sannolikheten att vinna för olika gissningar kan man se här
https://www.wolframalpha.com/input/?...3D1775+to+1780

Max vinstchans är g = 12450/7 ~= 1778.6

Brilliant.
Om vi säger att både L och S är log-normalfördelade vad blir lösningen då?

Jag är inte särskilt vass på det här, men jag undrar litet över den här biten:
L(x) = 1/10 om 1770 <= x <= 1780, annars 0
S(s)= 1/10 om 1775 <= s <= 1785, annars 0
Här har vi ju en kontinuerlig funktion, dvs L(1770,88765456) skall ha ett värde. Men nu är det satt till 1/10. Blir det inte knepigt att integrera detta? Typ det bli inte ett utan oändligheten? Bara en fundering?