Andragradsfunktion [Ma2C]

Uppgiften lyder:

För en andragradsfunktion gäller

Funktionen går genom origo
Ett nollställe där x = 12
Ymax = 54

Ange funktionen på formen y = ax^2 + bx + c

Jag läste på ett annat forum att ena nollstället är 0 dvs.
x(1) = 0
och att andra nollstället såklart är
x(2) = 12

Dock förstår jag inte varför ena nollstället är 0.

Sedan ska man iaf räkna ut y:

y = k (x-0) (k-12)

y = k * x (x-12)

y = kx2 - 12kx

Sedan har jag kört fast. Jag förstår inte hur ymax ska in i ekvationen eller varför x(1) = 0

om den går genom origo, punkt (0,0) så är c=0, använd det. En parabel är symmetrisk runt om nollpunkterna. Har du lärt brännpunkt och ledelinje?

Funktionen går enligt uppgiften genom origo (0,0), vilket innebär att x=0 är ett nollställe.
Dvs y=0 när x=0.

Det betyder också att c = 0. Återstår att hitta a och b.

Genom att sätta in (x=12, y=0) får du ett samband mellan a och b.
Med hälp av ymax får du resten av informationen du behöver.
Beroende på vilken nivå det är på kursen så kan man t.ex derivera för att hitta min/max (y’ =0) och då hitta ett uttryck för vilket x som ger max. Stoppa in detta x i formeln där y då skall sättas till ymax.
Man kan också ta mittpunkten mellan nollställena som x för ymax pga symmetri.

Du har du två ekvationer som bara innehåller a och b som okända variabler.
Lös.

Kanske overkill, men men

Så y = ax^2 + bx + c blir alltså y = kx^2 - 12kx + 0, men hur får jag in ymax i ekvationen och hur får jag värdet på a & b?
Jag förstår inte hur ymax värde (54) ska in.

Detta är Ma2C så derivata ska jag inte använda mig av

Jag såg en annan uppgift där de löste den genom på detta sätt:

f(0) = 54 → k(0)2 - 12k(0) + 0 = 54 men sedan strular det så det kan inte heller vara rätt metod misstänker jag

Notera esloveslovs kommentar om att funktionen är symmetrisk. Med andra ord: ett andragradspolynom har en lokal extrempunkt mitt emellan nollställena.

Den sökta funktionen har ett nollställe i x=0 och ett i x=12. Det betyder att funktionen har sin extrempunkt i x=6.

Låt det sökta polynomet vara f(x) = ax^2 + bx + c

f(0)=0 => c=0

Polynomet är alltså f(x) = ax^2 + bx

För att bestämma a och b använder vi de övriga två villkoren och ställer upp ett ekvationssystem:

f(12)=0 => 144a + 12b=0

f(6)=54 => 36a + 6b =54


Genom att lösa ekvationssystemet
144a + 12b=0
36a + 6b =54

får vi värdena på a och b och därmed också polynomet.

Räkningarna blir en aningen enklare om vi låter polynomet vara A(x-0)(x-12) = Ax(x-12).
För x=6 skall värdet vara 54 vilket ger A*6*(-6)=54 d.v.s. A=-3/2 varför polynomet är -3/2x(x-12) = -3/2 x^2 + 18x.

Mycket tjusigt! Faktorsatsen är bra att ha i bakhuvudet när man jobbar med polynom.

Noterar nu att ett litet terminologifel smög sig in i mitt svar ovan. Andragradspolynom har en global extrempunkt mitt emellan sina nollställen, inte en lokal.

Jag är tveksam till att det var fel eftersom jag tror att alla globala extrempunkter även är lokala extrempunkter.