Räkna ut intäkter per användare

Jag har en liten fundering.

Säg att du har 1000 användare som betalar 10 kr per månad till dig för en tjänst. (ett abonnemang likt Spotify) För varje månad som går så säger i snitt 3% upp sitt abonnemang. Alltså slutar 30 personer att betala 10 kr per månad.

Men varje månad tillkommer 30 nya personer som betalar dig 10 kr. Så nettointäkten per månad är den samma då användarantalet är konstant 1000 st. Efter 60 månader avslutas tjänsten automatiskt.
Hur räknar jag ut snittet för nettointäkten per användare i följande scenario?
Det kommer finnas användare som betalar 10 kr * 60 månader, alltså 600 kr. Men det kommer också finnas användare som avslutar tjänsten efter månad 1, alltså en intäkt på 10 kr* 1 mån.

Det jag är ute efter är alltså att hitta en ekvation enligt datan ovan för att kunna beräkna hur många kronor jag i snitt kan räkna med per användare som går med i tjänsten?

Räkna på medelvärdet av den bästa och sämsta månaden!
Om en användare avslutar efter månad 1 och en annan efter månad 60, blir medellängden på abonnemanget (60+1)/2 = 30,5 mån. Medelintäkt blir då 305 kr/användare.

Sen är det ju alltid bra att räkna några procent lägre än det, exempelvis 20% lägre. Så räkna med 305*0,8 = 244 kr/användare.

Här är en ungefärlig uträkning som inte tar hänsyn till att det bara finns "hela" kunder (alltså till exempel inga halva kunder). Jag tar inte heller hänsyn till att det är i snitt 3% som säger upp sig per månad, utan jag antar att det är 3% även om det kanske är 2% en månad och 4% en annan månad. Det finns antagligen något mer som jag har förbisett men jag tror att det stämmer på ett ungefär.

Jag antar att efter en lång tid så kommer antalet kunder att stabilisera sig så att antalet i en månad är ungefär samma som antalet i månaden innan.

En ekvation:
antal kunder denna månad = antal kunder förra månaden

Bokstaven A får betyda "antal kunder förra månaden".
Bokstaven N får betyda "antal nya kunder varje månad".
Bokstaven x får betyda "andel av kunderna vars avtal sägs upp per månad". Detta oavsett om det skett självmant eller automatiskt.

Ekvationen ovanför kan då skrivas så här med bokstäver:
A - A*x + N = A

En intressant fråga är vad x är.
Låt x = y + z
Bokstaven y betyder "andel av kunderna som säger upp sitt avtal själva under en månad".
Bokstaven z betyder "andel av kunderna som får sitt avtal uppsagt automatiskt under en månad".

Man vet att y = 0.03

Men vad är z?
Av en ny kund försvinner 0.03 självmant efter en månad (som sagt, i denna uträkning finns kunder som inte är "hela"). Kvar av kunden efter en månad finns alltså 1-0.03=0.97. Efter ytterligare en månad finns det kvar 0.97*0.97 av kunden. Efter 60 månader finns det kvar 0.97^60 av kunden (ca 0.16). Antalet kunder som tillkom för 60 månader sedan som fortfarande inte har sagt upp till avtal självmant är N*0.97^60. Dessa kommer få sitt avtal uppsagt automatiskt den här månaden. Eftersom antalet kunder är stabilt från månad till månad så är z = N*0.97^60/A

Nu byter jag ut x i ekvationen A - A*x + N = A ovanför:
A - A*(y+z) + N = A
A - A*(y + (N*0.97^60 / A)) + N = A

Lös ut A ur ekvationen:
A = N*(1-0.97^60)/y

Med N = 30 och y = 0.03 blir A = 839 ungefär.

EDIT: Jag ser nu att jag inte har besvarat frågan.

Varje månad går N användare med i tjänsten. Varje månad är intäkten 10*A=10*N*(1-0.97^60)/0.03
Intäkten för varje användare som går med i tjänsten är 10*(1-0.97^60)/0.03 alltså 279 kronor och 73 öre

EDIT 2:

Du har ju själv gjort en uppskattning att antalet kunder är konstant 1000. Då är intäkten 10000 per månad samtidigt som antalet nya kunder är 30 per månad. Då blir intäkten per ny kund 333 kronor och 33 öre vilket stämmer ganska bra med min uträkning. Skillnaden mellan våra uträkningar är de kunder som får sina avtal uppsagda med automatik efter 60 månader som jag tror att du inte har tagit med i din uppskattning att antalet kunder är 1000 konstant.

Du har inte tillräckligt med information för att räkna ut det. Du kan kanske anta en fördelning över hur
länge kunderna prenumererar.

För att besvara frågan hur många månader en genomsnittlig kund betalar 10 kronor räcker det att räkna ut
0.97^0 + 0.97^1 + 0.97^2 + 0.97^3 + 0.97^4 + och så vidare + 0.97^58 + 0.97^59
vilket är samma som (1-0.97^60)/0.03

Du har rätt.

Det skulle till exempel kunna vara så att kunderna har 0% risk att säga upp sitt avtal i början av perioden, men att denna risk är större än 3% i slutet, och att ett snitt på 3% självmant uppsagda per månad uppnås på detta sätt.

Jag har antagit att varje kund har 3% risk att säga upp sitt avtal i varje månad.

Jag började modellera lite själv i Excel, problemet som jag såg det är att om man startar från noll, dvs du lanserar en ny tjänst som växer med 30 användare i månaden efter hur många månader slutar man växa, dvs 3% tappet blir större än nya kunder till programmet.

Sedan tror jag avhoppen är större i början, dvs om de inte säger upp inom de första 3 månaderna är sannolikheten större att de stannar längre i programmet.

Men om en ny kund säger upp blir intäcktsbortfallet mycket större.

A1 är antalet kunder som befinner sig i de första tre månaderna av abonnemaget (Fas 1-kunder)
A2 är antalet kunder som befinner sig i de sista 57 månaderna av abonnemaget (Fas 2-kunder)
30 är antalet nya Fas 1-kunder per månad
N2 är antalet nya Fas 2-kunder per månad
y1 är andelen av Fas 1-kunderna som säger upp sig själv per månad
y2 är andelen av Fas 2-kunderna som säger upp sig själv per månad

Andelen av alla kunder som säger upp sig själv per månad är 0.03:
(A1*y1 + A2*y2) / (A1 + A2) = 0.03 (ekvation nummer 1)

Antalet Fas 1-kunder är (se mitt första svar):
A1 = 30*( 1 - (1-y1)^3 ) / y1 (ekvation nummer 2)

N2 är de Fas 1-kunder som inte har hunnit säga upp sig själva:
N2 = N1*(1-y1)^3

Antalet Fas 2-kunder är:
A2 = 30*(1-y1)^3 * ( 1 - (1-y2)^57 ) / y2 (ekvation nummer 3)

Sätt in ekvation nummer 2 och ekvation nummer 3 i ekvation nummer 1. Då får du en ekvation med y1 och y2. Min första lösning förutsatte y1=y2 och då blir y1=y2=0.03.

Välj till exempel y1=0.2 då blir y2=0.010962 cirka. Totala antalet kunder blir 726.8485. Intäkt per ny kund 10*726.8485/30 = 242 kronor 28 öre

Du har konstant 1000 betalande användare i 60 månader som betalar 10 kr, alltså får du 600.000 kr totalt.

Första månaden får du 1000 användare och resterande 59 månader får du 30 nya användare, alltså får du totalt 2770 användare (1000 + 59 x 30 = 2770).

Genomsnittet blir 216 kr och 61 öre per användare (600.000 kr / 2770 användare).

Formler:
kr per användare = totalt antal kr / total antal användare
total antal kr = kr per månad per användare * månader * konstant antal användare
total antal användare = användare vid start + nya användare per månad * månader

Ekvation:
kr per användare = (kr per månad per användare * månader * konstant antal användare) / (användare vid start + nya användare per månad * månader)

Eventuellt fel kan komma av att användare börjar betala mitt i månaden och de som slutar betalar för hela månaden de slutar, dvs ger 300 kr extra i månaden vilket innebär ett fel på 3%.