Hjälp med kombinatorik (dockor och klänningar)

Har en gammal uppgift som rör kombinatorik. Det är dockor (D1-D4) som ska kombinerad med klänningar (K1-K6). D1 och D2 kan inte ha K6. D4 kan inte ha K1-K3.

Frågan är nu hur många kombinationer av dockor med klänningar som vi kan göra?

Min första tanke är att då D1 och D2 kan ha K1-K5, så har vi där 5*4=20 kombinationer. Om D1 och D2 väljer K1 och K2, så borde D3 ha fyra klänningar att välja mellan. Om D3 väljer K3, så har D4 tre klänningar att välja mellan. Det borde ju bli 4*3=12 kombinationer? Totalt 240 kombinationer? Men sedan har vi ju alla de fall där dockorna får klänningar som resulterar i att D3 och D4 får färre klänningar att välja mellan? Känner mig lite körd.

Det här är ett sätt att få fram svaret.

D4 kan ha K4, K5 eller K6.

Om D4 har K6 så finns det 5*4 sätt att välja klänningar till D1 och D2 eftersom till finns 5 klänningar kvar att välja på till D1 och D2 efter det att man har valt klänning till D4.

Om D4 har K4 så finns det bara 4*3 sätt att välja klänningar till D1 och D2 eftersom det bara finns 4 klänningar kvar att välja på till D1 och D2 efter det att man har valt klänning till D4.

Om D4 har K5 gäller samma sak som i ovanstående mening det vill säga även i detta fall finns det 4*3 sätt att välja klänningar till D1 och D2.

Oavsett vilka klänningar som D1, D2 och D4 har så finns det 3 klänningar kvar att välja på till D3.

(5*4+4*3+4*3)*3=132

Det här är ett annat sätt att få fram svaret.

Ta fram ytterligare två dockor och kalla dem för D5 och D6.

Hur många olika sätt finns det att fördela K1-K6 på D1-D6? Först beräknas alla kombinationer, såväl giltiga som ogiltiga. Därefter plockas de ogiltiga kombinationerna bort.

Det finns 6*5*4*3*2*1=720 sätt att fördela K1-K6 på D1-D6. Bland dessa 720 finns även ogiltiga kombinationer.

Ta nu bort de kombinationer som har K6 på D1. Det är en sjättedel av alla 720 kombinationer det vill säga 120. Observera att i tre femtedelar av dessa 120 borttagna kombinationer (alltså 72 av dessa 120) hade D4 på sig någon av klänningarna K1, K2 eller K3.

Nu finns 600 kombinationer kvar.

Ta nu bort de kombinationer som har K6 på D2. Det är en sjättedel av alla 720 kombinationer det vill säga 120. Observera att i tre femtedelar av dessa 120 borttagna kombinationer (alltså 72 av dessa 120) hade D4 på sig någon av klänningarna K1, K2 eller K3.

Nu finns 480 kombinationer kvar.

Ta nu bort de kombinationer som har K1, K2 eller K3 på D4. Det är hälften av alla 720 kombinationer det vill säga 360. Men av dessa 360 kombinationer är 2*72 redan borttagna. Det finns alltså bara 360-2*72=216 kombinationer kvar att ta bort. Ta bort dessa.

Nu finns 264 kombinationer kvar.

Det som uppgiften handlar om är vilka klänningar som D1-D4 har. Vilka klänningar som D5 och D6 har spelar ingen roll. För varje sätt att fördela klänningar på D1-D4 finns det två sätt att fördela klänningar på D5 och D6 (antingen har D5 den kvarvarande klänning som har lägst nummer efter att man har valt klänningar till D1-D4 eller så har D6 den klänningen). Av alla kvarvarande 264 kombinationer är endast hälften, det vill säga 132, unika avseende D1-D4.

Det här är ett tredje sätt att få fram svaret.

Valet av klänningar kan delas in i tre alternativ.

Alternativ A är att klänningarna K4 och K5 sitter på var sin av dockorna D1 och D2.
Alternativ B är att ingen av dockorna D1 och D2 har på sig någon av klänningarna K4 och K5.
Alternativ C är att den ena av klänningarna K4 och K5 sitter någon av dockorna D1 och D2.

Om alternativ A gäller så har antingen D1 på sig K4 och D2 har på sig K5 eller omvänt det vill säga D1 har på sig K5 och D2 har på sig K4. Det finns alltså 2 sätt att välja klänningar till D1 och D2. Det finns 1 möjligt val för D4 nämligen K6. Det finns alltså 2*1 sätt att välja klänningar till D1, D2 och D4.

Om alternativ B gäller så finns det 3 sätt att välja vilken av K1, K2 och K3 som inte ska vara på varken D1 eller D2. När det är gjort finns det 2 sätt att fördela de två utvalda klänningarna på D1 och D2. Det finns alltså 3*2 sätt att välja klänningar till D1 och D2. Det finns 3 möjliga val för D4 nämligen K4, K5 och K6. Det finns alltså 3*2*3 sätt att välja klänningar till D1, D2 och D4.

Om alternativ C gäller så finns det 3 sätt att välja vilken av K1, K2 och K3 som ska vara på D1 eller D2. Det finns 2 sätt att välja vilken av K4 och K5 som ska vara på D1 eller D2. När dessa val är gjorda finns det 2 sätt att fördela de två utvalda klänningarna på D1 och D2. Det finns alltså 3*2*2 sätt att välja klänningar till D1 och D2. Det finns 2 möjliga val för D4 nämligen de två kvarvarande av K4, K5 och K6. Det finns alltså 3*2*2*2 sätt att välja klänningar till D1, D2 och D4.

Antalet sätt att välja klänningar till D1, D2 och D4 är 2*1+3*2*3+3*2*2*2

Oavsett vilka klänningar som väljs till D1, D2 och D4 så finns det 3 kvarvarande klänningar som kan väljas till D3.

Antalet sätt att välja klänningar till D1, D2, D3 och D4 är (2*1+3*2*3+3*2*2*2)*3=132.

Det här är ett fjärde sätt att få fram svaret.

Valet av klänning till D3 kan delas in i tre alternativ A, B och C.

Alternativ A är att någon av K1, K2 och K3 väljs till D3.
Alternativ B är att någon av K4 och K5 väljs till D3.
Alternativ C är att K6 väljs till D3.

Valet av klänning till D4 kan delas in i två alternativ D och E.

Alternativ D är att någon av K4 och K5 väljs till D4.
Alternativ E är att K6 väljs till D4.

Om alternativen A och D gäller så finns 3 möjliga val för D3 och 2 möjliga val för D4. För D1 och D2 återstår tre klänningar att välja mellan och de kan fördelas på 3*2 olika sätt mellan D1 och D2. Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 3*2*3*2.

Om alternativen A och E gäller så finns 3 möjliga val för D3 och 1 möjligt val för D4. För D1 och D2 återstår fyra klänningar att välja mellan och de kan fördelas på 4*3 olika sätt mellan D1 och D2. Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 3*1*4*3.

Om alternativen B och D gäller så finns 2 möjliga val för D3. När det valet är gjort återstår 1 möjligt val för D4. För D1 och D2 återstår tre klänningar att välja mellan och de kan fördelas på 3*2 olika sätt mellan D1 och D2. Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 2*1*3*2.

Om alternativen B och E gäller så finns 2 möjliga val för D3 och 1 möjligt val för D4. För D1 och D2 återstår fyra klänningar att välja mellan och de kan fördelas på 4*3 olika sätt mellan D1 och D2. Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 2*1*4*3.

Om alternativen C och D gäller så finns 1 möjligt val för D3 och 2 möjliga val för D4. För D1 och D2 återstår fyra klänningar att välja mellan och de kan fördelas på 4*3 olika sätt mellan D1 och D2. Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 1*2*4*3.

Alternativ C och E kan inte gälla båda två.

Antalet sätt att välja klänningar för D1-D4 är 3*2*3*2+3*1*4*3+2*1*3*2+2*1*4*3+1*2*4*3=132.

Tusen tack för dina utförliga svar!