LTI-system som är produkten är 5 z-termer

Jag skulle behöva lite tips på hur man löser del "a)" i den här uppgiften:

https://i.ibb.co/PWPQbwr/vad.jpg

Är det verkligen meningen att jag ska multiplicera ihop alla 5 faktorer i den där uppgiften?
Det känns som att det är meningen att jag ska använda invers z-transform eller nåt liknande, men jag kan inte komma på någon vettig lösning från den metoden.

Det ser också ut som om faktorerna av formen 1 - a⋅z⁻¹ ger en ledtråd om att jag ska transformera tillbaka alla faktorer till stegfunktioner, men jag tycker inte att jag kommer någonstans när jag skriver om H(z) till Y(z) / X(z).

Jag tror du skall multa ihop det. Om man döper om grejer till:

H(z) = (1-z^-1)(1-c1z^-1)...(1-c4z^-1) så fick jag:

H(z) = 1-(1+c1+c2+c3+c4)*z^-1 +(c1+c2+c3+c4+c1c2+c3c4+(c1+c2)(c3+c4))z^-2 +
((c1+c2)c3c4+(c3+c4)c1c2 + c3c4+(c1+c2)(c3+c4)+c1c2)Z^-3 + (c1c2c3c4+(c1+c2)c3c4+c1c2(c3+c4))z^-4 - c1c2c3c4z^-5

Ovanstående bör kontrolleras, handräkning från mig. Om man döper om till:
1-k1z^-1 +k2z^-2 -k3z^-3 +k4z^-4 -k5z^-5 så kommer man till det trevliga:

Man får transformen h(n) = delta(n) - k1delta(n-1) + k2delta(n-2)-k3delta(n-3)+k4delta(n-4)-k5delta(n-5)

Med faltningsformeln får jag då: y(n) = x(n) - k1x(n-1)+k2x(n-2) osv osv.

Med andra ord det är bökigt att multa ihop det, men väl där är faltningen enkel så det verkar vara en bra väg ändå.

Jag kan inte mycket om detta men jag fick (m.h.a. Mathematica) ditt \(H(z)\) till
\[
H(z) =
\frac{81}{100}z^{-6}-\frac{63}{25}z^{-5}+\frac{221}{50}z^{-4}-\frac{271}{50}z^{-3}+\frac{461}{100}z^{-2}-\frac{29}{10}z^{-1}+1
=\frac{(z^2+1) (z-1)^2 (100z^2-90z+81)}{100z^6}.
\]
Det känns som en "besvärlig" operation att beräkna denna produkt för hand med många möjligheter till felräkning.

Täljarens nollställen är \[z=\{\pm i,1,\tfrac{9}{20}(1\pm i\sqrt3)\}.\]

Kanske sant, kikade litet på metoden med direkt integration, om man tex förlänger så man får termer av typen: (z-1)/z*(z-c1)/z....och kör cauchy på det så ser man att för n större än 6 blir integralen noll. Men att börja kejederivera för lägre n blir det bökigt.

Partialbråksuppdelning verkar inte funka här heller.

En reflektion, man kan vända på det och ta fram :

H^-1/z = z^4/((z-1)....(z-c4))

Det uttrycket kan partialbråkuppdelas:

H^-1/z = A!/(z-1)+ ...+A5/(z-c4)

Här kan Ak bestämmas enligt Ak = (z-pk)H^-1/z i punkten z = pk

Jag fick tex : A1= 1/((1-c1)....(1-c4))

Sedan har man ett uttryck som kan utvecklas till en differensekvation med termer i y(n) vilket nog är ovanligare än med termer i x(n), men det är en differensekvation.

Dock tror jag fortfarande att det är bättre att bara multa ihop det.