De 2000 hattarna(sannolikhetsberäkning)

En matteuppgift från när jag pluggade kombinatorik på universitet för massa år sedan. Fick aldrig kläm på denna och tänkte om någon kan förklara här.

2000 herrar går på teater och lämnar alla in varsin hatt i garderoben. När föreställningen är slut delas hattarna ut slumpmässigt. Vad är sannolikheten att åtminstone en herre får sin hatt tillbaka?

Kanske denna sida kan hjälpa dig.

Tror du får räkna på hur stor chans det är att misslyckas, och därav vet du också chansen för att lyckas.
1999/2000 är chansen för att misslyckas första försöket, 99.95%. Tar du det upphöjt med 2000 försök så får du ca 36.78% att ingen får sin egen hatt, alltså ca 63.22% chans att lyckas.

Det är approximativt rätt. Den sökta sannolikheten är
1-!n/n!.
Man har lim_{n->oo} !n/n! = 1/e varför sannolikheten bör ligga nära 1-1/e≈0.632121≈63.2%.

Jag vill minnas att svaret är ca 47%. Föreläsaren använde genererande funktioner för att lösa det.

Är frågeställningen rätt?
Det finns !n sätt ingen får sin hatt och n! möjliga sätt att dela ut hattarna varför slh=!n/n! för att ingen får sin hatt. Komplementet är att minst en får sin hatt.