Vinnaren i pepparkakshustävlingen!
  1. Vetenskap & humaniora
  2. Fysik, matematik och teknologi
  3. Matematiska och naturvetenskapliga uppgifter

Lösningar till Collin, K. R. – Rep.kurs i matematisk problemlösning för stud.ex.

Svara
2021-06-28, 14:24
  #37
Math-Nerd
Medlem
Nr. 10:
Citat:
En äng, där gräset kan anses växa konstant, är delad i två lika delar genom ett stängsel. Å ena delen avbetas ängen av 15 kor på 8 dagar, å den andra av 9 kor på 16 dagar. Huru många kor hade kunnat finna sitt bete på hela ängen under 12 dagar?
Citera
2021-06-28, 16:00
  #38
Werkstad
Medlem
Werkstads avatar
Nr. 10:

Genom att multiplicera antalet kor med den tid de betar, får vi ett mått på den totala "avbetningen". Enheten för denna storhet kan kanske kallas ko-dag (ej att förväxla med oxvecka!)

Ena delen: 15*8 = 120 ko-dagar
Andra delen: 9*16 = 144 ko-dagar

Totalt antal ko-dagar: 264 ko-dagar.

Att beta av hela ängen kräver alltså en arbetsinsats om 264 ko-dagar. Om ängen ska blir helt avbetad på 12 dagar, så blir antalet kor som krävs:

264/12 = 22 st.
Citera
2021-06-28, 16:49
  #39
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Werkstad
Nr. 10:

Genom att multiplicera antalet kor med den tid de betar, får vi ett mått på den totala "avbetningen". Enheten för denna storhet kan kanske kallas ko-dag (ej att förväxla med oxvecka!)

Ena delen: 15*8 = 120 ko-dagar
Andra delen: 9*16 = 144 ko-dagar

Totalt antal ko-dagar: 264 ko-dagar.

Att beta av hela ängen kräver alltså en arbetsinsats om 264 ko-dagar. Om ängen ska blir helt avbetad på 12 dagar, så blir antalet kor som krävs:

264/12 = 22 st.
Kompakt och snygg lösning.
Citera
2021-06-29, 15:18
  #40
Math-Nerd
Medlem
Nr. 11:
Citat:
Bestäm villkoret för att \(x^4-ax^3+bx^2-cx+1\) skall vara en jämn kvadrat för alla värden på \(x\), samt angiv några hela tals värden på \(a\), \(b\) och \(c\), då så är förhållandet. (\(a,b,c\) pos.)
Citera
2021-06-29, 16:39
  #41
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Nr. 11:


\(b=\tfrac14a^2+2\) = ?
Citera
2021-06-29, 17:36
  #42
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
\(b=\tfrac14a^2+2\) = ?
Det är sambandet. Det finns oändligt många taltripplar.
Citera
2021-06-29, 18:25
  #43
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Det är sambandet. Det finns oändligt många taltripplar.

Visst, men jag är latex-illitterat och och undrar vad uttrycket betyder.
Citera
2021-06-29, 18:38
  #44
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Visst, men jag är latex-illitterat och och undrar vad uttrycket betyder.
Aha.
http://mathb.in/59193
Citera
2021-06-30, 10:48
  #45
Nail
Medlem
Nails avatar
Nr 11

Eftersom polynomet p(x) = x⁴ - ax³ + bx² - cx + 1 skall vara en jämn kvadrat för reella x kan vi ansätta
Kod: 
p(x) = (x² + Ax + 1)², vilket ger

P(x) = (x² + Ax)² + 2(x² + Ax) + 1
     = x⁴ + 2Ax³ + (A² + 2)x² + 2Ax + 1.
Identifiering av koefficienter ger

2A = -a = -c och A² + 2 = (-a/2)² + 2 = b.

Så a = c, b = a²/4 + 2 och

p(x) = x⁴ - ax³ + (a²/4 + 2)x² - ax + 1.

Av uttrycket framgår att b och c blir positiva heltal då a är positiv och jämn.
__________________
Senast redigerad av Nail 2021-06-30 kl. 10:59.
Citera
2021-06-30, 15:52
  #46
Math-Nerd
Medlem
Nr. 12:
Citat:
a) Vilket tal är större, \(\frac1{\sqrt{0.2}}\) eller \(\frac{\sqrt{15-5\sqrt5}}{\sqrt{0.4}+\sqrt{1.4-0.6\sqrt5}}\)?
b) Solvera \((2\sqrt2-1)x^2-(3+\sqrt2 )x+4-\sqrt2=0\).
Alt: http://mathb.in/59222
Inte helt triviala.
Citera
2021-07-01, 10:46
  #47
Nail
Medlem
Nails avatar
Citat:
Ursprungligen postat av Math-Nerd
Nr. 12:

Alt: http://mathb.in/59222
Inte helt triviala.

Nr 12 b)

(2√2-1)x² - (3+√2)x + 4 - √2 = 0 <=> x² - bx + c = 0, där

Kod: 
     3+√2    (3+√2)(2√2+1)   6√2+3+4+√2   7(1+√2)
b = ----- = -------------- = ---------- = ------- = √2 + 1
    2√2-1   (2√2-1)(2√2+1)   (2√2)² - 1    8 - 1

och

     (4-√2)(2√2+1)   8√2+4-4-√2  
c = -------------- = ---------- = √2.
    (2√2-1)(2√2+1)     8 - 1
Den ekvivalenta ekvationen blir därmed

x² - (1+√2)x + √2 = 0.

Kvadratkomplettering (dåtidens standardmetod) ger

Kod: 
(x - (1+√2)/2)² = (1+√2)²/4 - √2
                = (1+2√2+2)/4 - √2
                = (3 - 2√2)/4
                = (1 - √2)²/4, varur

(x - (1 + √2)/2)² - ((1 - √2)/2)² = 0

<=> (x - 1)(x - √2) = 0 enligt konjugatregeln.
Citera
2021-07-01, 13:27
  #48
Math-Nerd
Medlem
Citat:
Ursprungligen postat av Nail
Nr 12 b)

(2√2-1)x² - (3+√2)x + 4 - √2 = 0 <=> x² - bx + c = 0, där

Kod: 
     3+√2    (3+√2)(2√2+1)   6√2+3+4+√2   7(1+√2)
b = ----- = -------------- = ---------- = ------- = √2 + 1
    2√2-1   (2√2-1)(2√2+1)   (2√2)² - 1    8 - 1

och

     (4-√2)(2√2+1)   8√2+4-4-√2  
c = -------------- = ---------- = √2.
    (2√2-1)(2√2+1)     8 - 1
Den ekvivalenta ekvationen blir därmed

x² - (1+√2)x + √2 = 0.

Kvadratkomplettering (dåtidens standardmetod) ger

Kod: 
(x - (1+√2)/2)² = (1+√2)²/4 - √2
                = (1+2√2+2)/4 - √2
                = (3 - 2√2)/4
                = (1 - √2)²/4, varur

(x - (1 + √2)/2)² - ((1 - √2)/2)² = 0

<=> (x - 1)(x - √2) = 0 enligt konjugatregeln.
Jag trodde att någon formel var känd.
Citera
Svara

Stöd Flashback

Flashback finansieras genom donationer från våra medlemmar och besökare. Det är med hjälp av dig vi kan fortsätta erbjuda en fri samhällsdebatt. Tack för ditt stöd!

Stöd Flashback