Lösningar till Collin, K. R. – Rep.kurs i matematisk problemlösning för stud.ex.

Lösningsförslag:

Vi har att
\[
(x-a)(x-b)=c^2
\quad\Leftrightarrow\quad
x^2-(a+b)x+ab-c^2=0
\]
som har lösningarna
\begin{align*}
x_{1,2}
&=\frac{-\bigl(-(a+b)\bigr)\pm\sqrt{\bigl(-(a+b)\bigr)^2-4\cdot1\cdot(ab-c^2)}}{2\cdot1}
\\&=\frac{a+b\pm\sqrt{(a+b)^2-4(ab-c^2)}}2
\\&=\frac{a+b\pm\sqrt{a^2+2ab+b^2-4ab+4c^2}}2
\\&=\frac{a+b\pm\sqrt{a^2-2ab+b^2+4c^2}}2
\\&=\frac{a+b\pm\sqrt{(a-b)^2+(2c)^2}}2.
\end{align*}
Uttrycket under rottecknet är en summa av kvadrater och är \(\ge0\) varför lösningarna är reella, vilket skulle visas.

Om man får hänvisa till en välkänd sats så räcker det att notera att (x-a)(x-b)-c^2 är det karakteristiska polynomet till matrisen

a c
c b

som i egenskap av reell symmetrisk matris bara har reella egenvärden.

En kort och bra lösning. Linjär algebra gör ibland saker enklare (vilket Nerdnerd(?) ofta demonstrerar med sina vektor-lösningar). Jag försöker ta hänsyn till vad som kunde tänkas ingå "när det begav sig" och lösa därefter, men det gör inte en "modern" lösning sämre. Det är intressant (IMO) att se olika metoder.

Nr. 7:
N.B. 1: "Solvera" är "gammelsvenska" för "Lös". (Ett ganska trevligt ord som, IMO, borde överlevt då det ligger så nära det internationella "solve".)
N.B. 2: Det finns ingen notis om \(a,b,c\) varför man får anta att de är reella tal då uppgiften är ämnad för Latinlinjen.
N.B. 3: Formuleringen i svaret är tagen direkt från bokens facit.
N.B. 4: Uppgiften är inte speciellt svår, men kräver lite "bokföring" och betänkande avs. absolutbelopp i samband med rotdragning.

Nr. 8:

Nr. 8

Den här var rätt oproblematisk.
Vi kan för enkelhets skull anta att linjen har totala längden 1 längdenhet (så det är tekniskt sett fråga om en sträcka i modern nomenklatur).

Vi inför att den första delen av sträckan har längden 1-x och den andra delen har längden x.
Rektangeln av hela sträckan och den första delen är: 1*(1-x) = 1-x
12 gånger kvadraten på den andra delen är: 12*x^2

Dessa ska vara lika, så:
1-x = 12x^2

Denna andragradsekvation har rötterna x=-1/3 och x=1/4

Den negativa lösningen kan inte komma på fråga eftersom sträckor ska vara positiva.
Förhållanden mellan delarnas längder är kvoten:

x/(1-x) = 1/4/(1-1/4) = 1/3

För övrigt:
Om problem nr. 8 inte haft faktorn 12 utan istället 1 i sitt villkor:

"En rät linje är delad så, att rektangeln av hela linjen och ena delen är kvadraten på den andra delen."

så hade den eftersökta kvoten blivit det gyllene snittet, ett elegant förhållande som förekommit i otaliga sammanhang (konst, arkitektur, etc.) genom historien.

Ja, korrekt. Jag undrar dock vad de menade med anmärkningen, "delad utantill".

Nr. 9:
Denna var säkert ”standarduppgift” 1918 men är troligen obegriplig för dagens elever. Den är, vad som synes, den enda i samlingen av denna typ, så speciellt viktig kan den inte ha varit.

Åh, jag råkade missa det!

Jag drog till med följande chansning som gav mig rätt resultat:

Säg att vi har en sträcka som är 1 längdenhet lång. Vi lägger nu på ytterligare en bit som vi kallar x.
Hela sträckan är nu 1+x och "rektangeln av hela linjen och ena delen" blir
1*(1+x) = 1+x

"12 gånger kvadraten på den andra delen" blir
12*x^2

Vi kan nu ställa upp följande andragradsekvation:
1+x = 12x^2

Den positiva roten till denna ekvation är 1/3. Förhållandet mellan de två delarna blir:
x/(1+x) = 1/3/(1+1/3) = 1/4


Kan det vara så att "dela en linje utantill" alltså innebär att man lägger på ett segment utanför den ursprungliga linjen? Något förvirrande terminologi, måste jag säga.

Du har nog gjort en helt korrekt tolkning.