Kan ration mellan diameter och omkrets vara vad som helst i icke euklidisk geometri?

I eukledisk geometri är ju ration mellan diameter och omkrets för en vanlig cirkel lika med pi, i andra fall av icke euklidisk geometri med annan kurvatur går det att ha precis vilken ratio som helst eller finns det något som begränsar detta?

Vet inte riktigt vad du menar med "vilken ratio som helst", och om det finns något som begränsar din frågeställning. Men spontant tänker jag att ett ratio på tex −5 känns svårt att föreställa sig.

Förövrigt så är väl förhållandet mellan radie och omkrets inte linjärt på samma sätt som i euklidisk geometri. Beroende på åt vilket håll rumskrökningen är så kommer ju antingen omkretsen börja krympa igen med ökad radie, eller så sticker den exponentiellt.

Ja, alla förhållanden är möjliga.
I sfärisk geometri, dvs med konstant positiv krökning, kan man få alla förhållanden mellan π och 0. Detta kan man enkelt förstå om man tänker på cirklar runt jordens nordpol (med diametern mätt längs jordytan. T ex en cirkel med diameter = halva jordens omkrets får man för en cirkel längs ekvatorn, där förhållandet alltså blir 2. Och om diametern är närmar sig hela jordens omkrets, får man en allt mindre cirkel runt sydpolen, där förhållandet alltså går mot 0.

Konstant negativ krökning är svårare att visualisera, men där kan man iaf få alla förhållanden från π och upp till hur stora värden som helst.

Allt detta gäller på sanna sätt, dvs med samma formler, för alla dimensioner. T ex har en 4D boll, med 3D hyperyta (som ju t ex är en möjlig modell för ett ändligt universum), samma formel för förhållandet som gäller på ytan på en vanlig boll.

Så ration kan bara vara positiva värden?

Spontant ja. Men någon sorts mening kanske kan ges även för negativa vården för positiv krökning. Om kröknlngsradien är R, radien på cirkeln r och omkretsen är s, ges ju sambandet av
s = 2πR sin(r/R)
som ju är en sinusfunktion av r som pendlar mellan 2πR och -2πR, OM man tillåter r att t ex vara mer än πR. Detta är då alltså som en cirkel runt nordpolen med en radie (längs jordytan) som är större än avståndet till sydpolen, som ju annars borde vara den största radie som en cirkel kan ha.