Mattehjälp

Då jag såg att två personer "stod på kö" i den allmänna tråden om hjälp så tänkte jag skapa en ny tråd istället med enbart min fråga som huvudmotiv. Det är som så att jag har en uppgift (matte D) som måste lösas innan onsdag denna vecka, en rätt så stor en. Denna ska redovisas i en utförlig rapport till läraren. Har suttit och klurat på den ett bra tag nu men lyckas ändå inte knäcka uppgiften
Here go: http://www.junsele.com/viewpic.asp?id=45549

All hjälp uppskattas!

Jag hade exakt samma bok när jag läste Matematik D, även om jag inte gjorde just den där uppgiften. En av mina vänner tog sig dock an den, och jag tror inte att du kommer bli glad av att höra vad jag har att säga.

Hans rapport på det hela tror jag blev uppemot 7-8 sidor lång, han hade bl.a. tvingats derivera kvoter i kvoter, etc. Det är möjligt att han gjorde det på ett onödigt komplicerat sätt, det vet jag inte, men så blev det för honom i alla fall. Jag önskar dig lycka till!

Inga garantier ges för följande lösning.

1) Vi vill hitta det kvadratiska sambandet mellan b och v

Omvandla först hastigheten till m/s genom att dividera med 3.6. Antag sen att vi har b = k*v^2. Titta på tabellen och beräkna k = b/v^2 för alla värden. Vi finner

0.0835 0.0829 0.0830 0.0830 0.0829

och medelvärdet av dessa är k = 0.0831 s^2/m. Ett bättre sätt att hitta k är att använda minsta kvadratmetoden men jag antar att ni inte gått igenom detta.

Alltså har vi b = k*v^2 där k är känt.


2) Titta på uttrycket för avståndet mellan bilarna

Kalla avståndet för x och vi har då

x = r + b/2.

Från texten vet vi att reaktionssträckan är r=v*t0 där t0 är reaktionstiden. Stoppa in detta tillsammans med uttrycket för b:

x = v*t0 + (k/2)*v^2.


3) Vi vill minska köerna på bron

Vi vill hitta antalet bilar per sekund som passerar ett brofäste och sedan maximera denna frekvens. Fler bilar / sekund = större genomflöde av trafiken.

Hur stor sträcka tar en bil + ett avstånd upp? Bilens längd kallas L och vi får sträckan

s = x + L.

Efter tiden t = s/v kommer en bil att ha passerat brofästet och nästa bil står med fronten precis vid brofästet. Detta är alltså tiden för en bil att passera brofästet och frekvensen vi söker är

f = 1/t = v/s = v / (L + v*t0 + (k/2)*v^2)


4) Maximera flödet av bilar

För att hitta maximum av rekvensen så deriverar vi med avseende på v och sätter lika med noll.

df/dv = 1 / (L + v*t0 + (k/2)*v^2) - v*(t0 + k*v^2) / (L + v*t0 + (k/2)*v^2)^2 = (L - (k/2)*v^2) / (L + v*t0 + (k/2)*v^2) = 0.

Lösningen ges av

v = sqrt(2L/k). [Kontrollera att detta är ett maximum genom teckenväxling]

Med L = 4 m, och k = 0.0831 s^2/m fås

v = 9.8 m/s = 35 km/h.

Vid denna hastighet är avståndet mellan bilarna

x = 9.8*0.2 + (0.0831/2)*9.8^2 m = 5.95 m ~ 6 m.


5) Slutsats

Jag skulle säga att hastigheten bör vara 35 km/h och avståndet 6 m.

Det går att söka på google.
Typ samma som evolute skriver....


Om avståndet r+b/2, vilket innebär att om framförvarande bil bromsar och stannar efter b meter, så stannar bakomvarande bil efter r+b meter och avståndet dem emellan då båda har stannat är halva bromssträckan b/2 meter. För att förhindra krock om den första bilen tvärstannar måste avståndet vara större än r+b. För att göra kötiden så kort som möjligt skall antalet bilar som lämnar bron per tidsenhet vid en jämn ström av 4 meter långa fordon som håller rekommenderad hastighet och rekommenderat avstånd maximeras. Det innebär att tiden som det tar från det att en bil precis lämnar bron tills nästa gör det skall minimeras. Låt hastigheten vara v meter per sekund. Bromssträckan är proportionell mot kvadraten på hastigheten: b=Av2, där A ur tabellen (som inte följer sambandet exakt) kan beräknas till A=16/(50/3.6)2=0.083 om vi använder angivelsen för 50 km/h. Eftersom bilarnas längd är 4 meter, blir den sökta tiden som skall minimeras t(v)=(r+b/2+4)/v=0.2+Av/2+4/v=0.2+(sqrt(Av/2)-sqrt(4/v))2+2sqrt(2A). Kortaste tiden 0.2+2sqrt(2A)=1.0 fås då Av2=b=8 (alternativt genom derivering), varav också v=9.8 och r+b/2=0.2v+4=6.0. På skylten bör rekommenderad hastighet vara 35 km/h och rekommenderat avstånd 6 m. (Om hastigheten var normala 50 km/h skulle det emellertid behöva passera mer än 1000 bilar i en följd för att tidsförlusten skulle vara en minut.)

ehm, hur gör man det? För att finna svaret på didlidis matteuppgift, vad bör man då googla efter?

Den som söker han finner...

Det är bara att googla på uppgiften "bilar över bro....osv". Men snäll som man är så får du länken här;

http://www.maths.lth.se/query/answer...l#990425114439

För att finna just den uppgiften trycker du " ctrl + f " och sök på "bilar".

Kan det bli lättare

Hallå igen! Satt och finslipade på denna uppgift en sista gång igår och då dök faktiskt ett par frågor upp.

• (r+b/2) meter - hur kunna motivera denna formel i en diskussion?
• f = v/s = v / (L + v*t0 + (k/2)*v^2)
  Jag skulle gärna vilja se fler mellanled, evolute. Hur kom du fram till att s var detsamma som (L + v*t0 + (k/2)*v^2)?
  Eller att dv=(L + v*t0 + (k/2)*v^2) - v*(t0 + k*v^2) / (L + v*t0 + (k/2)*v^2)^2?
• "Om hastigheten var normala 50 km/h skulle det emellertid behöva passera mer än 1000 bilar i en följd för att tidsförlusten skulle vara en minut."
  Hur ser man detta?

Ber om överseende och tackar så oerhört för all hjälp!

1. Formeln r+b/2 är väl given i uppgiften. Tänk att bilen framför dig bromsar och stannar på en femöring. Då skulle du behöva avståndet r+b. Om bilen framför dig börjar bromsa och du börjar bromsa när reagerar. Då skulle du behöva avståndet r, eftersom ni har lika lång bromssträcka. Sträckan r+b/2 är väl en avvägning mellan dessa 2 alternativ kanske?

2. Vi har kallat bilens längd för L. Sträckan mellan bilar är x = r+b/2. Vi finner att r = v*t0 och b = k*v^2. Alltså fås x = v*t0 + (k/2)*v^2. Total sträckan blir sträckan mellan bilarna x och längden av en bil L,

s = L + x = L + v*t0 + (k/2)*v^2.

3. Tiden mellan bilar som passerar en punkt är

t = s / v = L / v + t0 + (k/2)*v

För v = 35 km/h = 9.8 m/s, fås

t1 = 1.015 s.

För v = 50 km/h = 13.9 m/s, fås

t2 = 1.065 s.

Skillnaden är alltså mycket liten, dt = 1.065 - 1.015 s = 0.05 s, men man förlorar tid på att tillåta 50 km/h istället för 35 km/h. Hur många bilar måste passera för att denna tidsförlust ska vara 1 minut? Jo, 60 s / 0.05 s = 1200 st. Texten nämnde 1000 bilar men det var nog en approximation.

Kollade du ens på länken som jag länkade?

Detta var en rolig optimeringsuppgift.

Gick att lösa grafiskt med PCn också:

http://img87.imageshack.us/img87/3973/bb3nc.png