Bayes regel och betingad sannolikhet

Givet är:

P(y=1)=10/16
P(y=2)=6/16
P(x=1)=3/4
P(x=2)=1/4

P(y=1|x=1)=3/4
P(y=2|x=1)=1/4
P(y=1|x=2)=1/4
P(y=2|x=2)=3/4

P(z=1|x=1,y=1)=3/4
P(z=2|x=1,y=1)=1/4
P(z=1|x=2,y=1)=1/4
P(z=2|x=2,y=1)=3/4

P(w=1|x=1,y=1)=3/4
P(w=2|x=1,y=1)=1/4
P(w=1|x=2,y=1)=1/4
P(w=2|x=2,y=1)=3/4

Variablerna x,y,z,w kan bara anta värdena 1 eller 2.

Nu skall vi beräkna:

P(x|y=1,z=1) ? (för alla x alltså)

och

P(x|y=1,z=1,y=1) ? (för alla x)

Jag kan ju bayes regel men jag får det inte att gå ihop hur jag än vrider på dem.

De två första "blocken" låter dig beräkna sannolikheter P(x=i,y=j).

Nästa block låter dig beräkna P(x=i,y=j,z=k), för att beräkna P(x=i|y=j,z=k) krävs P(y=j,z=k). Utnyttja

P(y=j,z=k)=P(x=1,y=j,z=k)+P(x=2,y=j,z=k)

exempelvis

Tack, nu har jag lyckats lösa den första uppgiften genom att bygga tabellerna som du föreslog:

p(x,y) y=1 y=2
x =1 4/16 3/16
x =2 1/16 3/16

p(x,y,z) z=1 z=2
x=1 y=1 27/64 9/64
x=2 y=1 1/64 3/64

p(y,z) z=1 z=2
y=1 7/16 3/16

p(x=1|y=1,z=1) = 27/28
p(x=2|y=1,z=1= = 1/28

Jag lyckas dock fortfarande inte lösa nästa uppgift. Jag har återigen konstruerat tabeller från den nya informationen:

p(x,y,w) w=1 w=2
x=1 y=1 27/64 9/64
x=2 y=1 1/64 3/64

p(y,w) w=1 w=2
y=1 28/64 12/64

Det verkar som att p(x,y,w) = p(x,y,z).

Nu är ju då nästa beräkning:

p(x|y=1,z=1,w=1) = p(x,y=1,z=1,w=1)/p(y=1,z=1,w=1)

,men jag lyckas varken skriva om nämnare eller täljare som något känt : /

Problemet är antagligen att p(x|y=1,z=1,w=1) inte är unikt bestämt från de givna sannolikheterna.

Hmm, det finns lite text som medföljer uppgiften om det är till någon hjälp. Den lyder såhär:

You do not know how W and Y are related but you do know
that W can only take on values 1 or 2 and that it is not completely determined
by Y . You also know that Z determines the value of W with certainty. So the
value of Z says what the value of W is.

Ja såklart att det hjälper. Det var ju en ganska viktig "detalj". z=w...

Så utiftån detta ska jag anta att p(z) = p(w) ? Hänger inte riktigt med.

Nej det visste vi redan från tabellerna.

Vi kan se det såhär, X Y Z W är utfallet av slantsinglingar där X och Y talar om för oss vilka mynt vi ska singla för att få Z och W. Tabellerna ger oss att mynten för Z och W är likadana, den extra informationen är att det faktiskt är samma kast (alltså vi kastar inte myntet två gånger för att få Z och W, vi kastar det bara en gång Z och W är resultatet)

Oj, det var en konstig uppgift. Det står dock i svaret att

p(x=1|y=1,z=1) = 27/28 = p(x=1|y=1,z=1,w=1)
p(x=2|y=1,z=1) = 1/28 = p(x=2|y=1,z=1,w=1)

så det du säger måste väl stämma då. Kan vi då säga att z egentligen är oberoende av w om man känner till z? och tvärtom. dvs P(z|w) =P(z) osv?

Verkar rimligt

Nej, Z och W är extremt beroende: de är ju samma sak. Är ett tärningskast obereonde av sig självt om man känner till resultatet?

Nej. P(z|w) är ju antingen 1 eller 0.