DAE till ODE (diffekvation till ordinärt system)

Jag har systemet:

g*z1+z2_prim*z3-z1*z4_prim = 0
z1^2+z3^2 = 0

Jag skulle vilja göra om det till ett system av ordinära förstagradens diffekvationer så att jag enkelt kan beräkna den numeriskt. (Eller det kanske går att beräkna numeriskt på denna form också? Jag har inte lyckats dock, behöver skriva koden själv så kan inte bara använda nån färdig Runge-Kutta)

I övrigt beskriver systemet en pendel där vi från början hade z1 = x, z2 = x_prim, z3 = y, z4 = y_prim.

Allt primmat är ju då differetieringar.

Svårt att tyda ...
Varför behöver du 4 koordinater för att beskriva en pendel?

Posta gärna en länk till originaltexten och helst en bild på ”pendeln” också.

Pendeln är en helt vanlig punktmassa, med masslös stav som den hänger i med längden L.

Det är inte koordinater, det är bara dummyvariabler för att sänka graden av systemet. Du kan byta ut z = (x,x',y,y') om du vill.

Originaltexten är bara intresserad av att veta "in which manifold does the equation evolve". Den ska ha index = 2 men de visar inte hur den ser ut.

Jag själv är bara intresserad av att simulera. Tänkte använda nåt enkelt som Euler-forward, men kommer inte på hur jag ska implementera den.

Du skall alltså beskriva hur en *sfärisk* pendel rör sig!

Sfäriska koordinater r, θ, ϕ (med origo i fästpunkten) är väl lämpade då.
Eftersom r = konstant = L så har systemet 2 frihetsgrader.

Nej det är bara en 2-dimensionel pendel faktiskt. Har kommit en bit men kan fortfarande inte komma på hur ekvationerna kan göra om till första ordningens ordinära differentialekvationer...

En *plan* pendel alltså (där pendelkulan rör sig i ett vertikalplan genom upphängningspunkten)?

Du har ekvationerna

g * z1 + z2' * z3 - z1 * z4' = 0
z1^2 + z3^2 = 0,

där den övre ekvationen tycks vara av första ordningen (givet att primtecknen markerar tidsderivator av första ordningen). Vad betyder dessa ekvationer fysikaliskt? Du får gärna visa en härledning.

Rörelseekvationerna bör ju vara korrekta innan det är lönt att angripa dem numeriskt …

Har lite bättre koll nu tror jag ...

Med z1 = x, z2 = x', z3 = y, z4 = y' kan ekvationerna

g * z1 + z2' * z3 - z1 * z4' = 0
z1^2 + z3^2 = 0

skrivas

(1) … gx + yx'' - xy'' = 0
(2) … x^2 + y^2 = 0


Momentlagen kring en axel genom fästpunkten (_|_ xy-planet) ger enligt figuren

mg*x = m (xy' - yx')' = m (xy'' - yx'')
och x^2 + y^2 = L^2

Den övre ekv ger gx = xy'' - yx'', vilket överensstämmer med ekv (1).
Ekv (2) verkar däremot inte stämma.
-----

För egen del skulle jag utgå från energilagen. Antag försumbara energiförluster så att pendelkulans mekaniska energi E bevaras:

E = ½ m(x'² + y'²) - mgy => x'² + y'² - 2gy = konstant.

Tvångsvillkor: x² + y² = L².

Tack för hjälpen men det var inte just härledningen jag undrade över utan, hur man kan skriva om systemet som ett ekvationssystem av första ordningen derivator av x och y.

Lägg till fler variabler, som är derivatan av de ursprungliga variablerna. Då får du ett system med fler variabler, men som bara har förstaderivator.

Jo, men som läsare vill man förstå problemställningen …

Det hade varit lättare att ge adekvat hjälp om du i första inlägget hade angett rörelseekvationerna

gx + yx'' - xy'' = 0
x^2 + y^2 = L^2

(i stället för den där z-varianten) – och att det rör sig om en plan partikelpendel.

Tillägg:
Eftersom kulan rör i en cirkelbana med radien L (enligt tvångsvillkoret x² + y² = L²) är problemet endimensionellt.

Låt därför θ vara toppvinkeln i xyL-triangeln. Energilagen kan då skrivas

E = ½ mL²θ'² – mg· Lcos(θ), vilket ger

θ'² – 2(g/L) cos(θ) = konstant.

??