Trigonometriska omskrivningar

Hej, förmodligen en väldigt dum fråga men jag förstår verkligen inte hur man kan enkelt omvandla trigonometriska funktioner till andra, i t.ex. den här fråga som jag jobbar med just nu så såg det ut så här i facit:
sin(90 °- α - β) blev -> cos(α+β)..

Man kunde alltså byta ut sin till cos så länge man tog bort första vinkeln ur ekvationen d.v.s. 90° och helt plötsligt så hade man cos och adderat vinklarna 'α+β'
Finns det en regel till hur man gör detta, förstår inte vad det är jag har missat

edit: Måste även tillägga att det här var en del av en större uppgift, men tror inte resten av uppgiften är viktig för min fråga, men om den är det så kan jag absolut lägga till den också

Det lättaste är väl att rita upp en enhetscirkel och rita ut problemet.

Kalla a+b för c. Sin(90-c)=cos(c). Som du ser, så "speglar" du triangeln mot det vertikala strecket.

Antingen enhetscirkeln, där det sker en spegling i \(y=x\) eller räkning;

Additionsformeln
\[
\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)
\]
ger
\begin{align*}
\sin(x-y)
&
=\sin\bigl(x+(-y)\bigr)
\\&
=\sin(x)\cos(-y)+\cos(x)\sin(-y)
\\&
=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\bigl(-\sin(y)\bigr)
\\&
=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)
\end{align*}
vilket i sin tur, för \(x=\pi/2\) och \(y=\alpha+\beta\), ger
\begin{align*}
\sin(\pi/2-\alpha-\beta)
&
=\sin\bigl(\pi/2-(\alpha+\beta)\bigr)
\\&
=\sin(\pi/2)\cos(\alpha+\beta)-\cos(\pi/2)\sin(\alpha+\beta)
\\&
=1\cdot\cos(\alpha+\beta)-0\cdot\sin(\alpha+\beta)
\\&
=\cos(\alpha+\beta).
\end{align*}

Geometriskt då θ = α+β ligger i första kvadranten:

Tackar så mycket för förklaringarna ! Det blev mycket tydligare nu

Rubrik justerad enligt 0.01.

/Moderator