Integration Bee

Här räknar vi igenom (delvis kluriga) integraler från diverse Integration Bee-tävlingar (blandat ursprung, ej enbart MIT). Flera av integralerna är enkla och kan klaras av med gymnasiekunskap. Jag tar mig friheten att ('IMHO') gradera dem 1-3, där 1 är enkel (gymnasium) och 3 svår (högskola). Kanske jag ej alltid finner den kortaste, enklaste och bästa lösningen och då får man gärna presentera en bättre lösning.

MIT 2013, "Qualifying Round", #1

\[
\int\bigl(\ln(x^2)-2\ln(2x)\bigr)\,\mathrm{d}x
\]

Svårighetsgrad: 1

Svar:

Lösningsförslag:

Något saknas?

Det var tänkt som "inledningsord" men troligen såg du det före jag postade den första integralen och då håller jag med om att det var bristfälligt.

\(\def\diff#1{\mathrm{d}#1}\)
\(\def\E{\mathrm{e}}\)
\(\def\I{\mathrm{i}}\)
\(\def\abs#1{\lvert#1\rvert}\)
MIT, 2013, #02

\[
\int_{-1}^3\E^{\abs{x}}\, \diff{x}
\]

Svårighetsgrad: 1

Svar:

Lösningsförslag:

f(x) = e^x = f'(x), så det där problemet är väl bara en halvpoängare?

Ja, det är en av de lättare, men jag tyckte jag (mentalt) mäktade med en 3-gradig skala, 1=Gymnasium (normalgrad, iaf om man kan part.int), 2=Gymnasium (lurigare, kräver lite mera), 3=Högskola (vanligtvis Taylorutvecklingar eller likn.)

Det är rätt stor skillnad på svårighetsgraden på integralerna. Men, det är en sak att lösa dem i lugn och ro och en helt annan sak att göra 20 integraler på 20 minuter. Tidigare var det 25 integraler på 20 minuter. Jag tror dock ingen klarar det, möjligtvis någon "von Neumann" om sådan finnes idag.

När det hela är klart skall jag sammanställa det till en PDF-skrift.

En del finns lösta på YouTube. Imponerande energi vissa har att göra videor, och 100-tals av dem.

Aha, 20 integraler på 20 minuter – en annan femma!

Hur går tävlingarna till i praktiken? Är det papper och penna som gäller, eller sitter deltagarna framför var sin dator när startsignalen går?

Jag vet ej exakt. Jag skulle tro att de skriver i en skrivsal på ett papper. Det står "Ringa in ditt svar tydligt" i instruktionerna. Det verkar som de kladdar och skriver på provpappret och sedan ringar in sitt svar och går vidare till nästa fråga. Det går väldigt fort. Ser man på finalen (ett par finns på YouTube), som sker på "svart tavla" med krita, brukar de som tävlar bara göra några enstaka anteckningar, fundera lite och sedan skriva svaret direkt på tavlan. Det är alltså inga långa uträkningar som "vi" brukar göra. Det är nog en speciell fallenhet. Dock, många gör rejäla fel, så de är inte extrema geni på något sätt. En del är chansning och gissning.

Jag vet inte om någon har klarat 20/20.

RedPenBlackPen (YouTube) löser väl 100 integraler non-stop. Vet ej hur många timmar det tar. Men man skall inte lita på YouTube för mycket - det kan sitta en person med instruktioner eller "teleprompter" som "sufflör". Allt är inte vad det verkar vara på YouTube...

Edit: Så här lyder förordet för år 2015

Tackar för tillägget.

Apropå RedPenBlackPen verkar tävlingarna resultera i en formidabel överrepresentation av unga östasiatiska pristagare. Undrar vad det beror på ...

Svårt att säga exakt. Asiater är flitiga, målmedvetna etc. Hur pass innovativa de senare är i livet vet jag ej.

Begin{ironi}
Jag är övertygad om att efter Skolverket har fått ordning på våra PISA-resultat (vilket år?) så inleds en grundlig utredning ang. detta. Kanske sedvanlig exklusiv selektion kan få upp våra resultat, även i denna studie.
End{ironi}

\(\def\diff#1{\mathrm{d}#1}\)
\(\def\E{\mathrm{e}}\)
\(\def\I{\mathrm{i}}\)
\(\def\abs#1{\lvert#1\rvert}\)
MIT, 2013, #03

\[
\int\frac{\ln(x)\cos(x)-\frac{1}{x}\sin(x)}{\ln^2(x)}\, \diff{x}
\]

Svårighetsgrad: 2

Svar:

Lösningsförslag: